Рекомендуемые домашние задачи.

Д-1 . Ответ. .

Д-2 . Ответ. .

Д-3 . Ответ. .

Д-4 . Ответ. .

Д-5. .     Ответ.    

Д-6 .     Ответ. .

Интегрирование рациональных дробей. Метод неопределённых коэффициентов.

Случай 1. Если все корни  и различны

Задача 308. .

Решение.  = .

Приведём к общему знаменателю = .

Теперь приравняем числители в  и .

, т.е.

, получается система уравнений:

решая её, находим .

Получается, что  =   = 

 = .

 

Задача 309. Вычислить интеграл .

Решение. Разложение на простейшие дроби:

.

Приведём к общему знаменателю: .

Приравняем к исходной дроби. Знаменатели у них и так равны, осталось приравнять числители:   

из этого следует: .

Так как в исходном числителе была только константа 1, то искусственно приписали , для того, чтобы присутствовали все степени, коэффициенты при которых надо сравнить.

Получается система уравнений:

Решаем систему, складывая уравнения между собой, получится

, т.е. , тогда . Теперь интеграл можно разбить на два интеграла от таких слагаемых:

.

Ответ. , либо в такой форме: .

Задача 310. Вычислить интеграл .

Решение.  = .

, тогда система уравнений для неопределённых коэффициентов:

. Вычитая из 1-го уравнения 2-е, получим:

, т.е. , тогда .

Итак,  =  =

.   

Ответ. .

 

Задача 311. Вычислить .

Решение. В данном примере D>0, в отличие от предыдущих. Нужно сначала разбить дробь на сумму простейших:

и после этого, будет сумма двух таких интегралов, каждый из которых сводится к логарифму. Чтобы найти А и В, приведём к общему знаменателю: 

 = .

Теперь приравняем числители, ведь дроби равны, знаменатели одинаковы, значит и числители тоже:

          

.

Отсюда получается система уравнений, из которой можно найти неопределённые коэффициенты А и В:

Решая эту систему, получаем , . Тогда интеграл распадается на простейшие:

 =  = .

Ответ. .

Практика 28 (530 гр).

Задача 312. Вычислить интеграл    

Решение. В данном случае знаменатель уже разложен в произведение множителей первой степени. Теперь представим дробь в виде суммы:

.

После приведения к общему знаменателю:

 = .

Тогда .

Перегруппируем слагаемые, так, чтобы вынести отдельно вторые степени, первые степени и константы.

.

Отсюда строим систему уравнений:

чтобы её решить, построим расширенную матрицу системы и применим метод Гаусса.

Сначала ко 2-й строке прибавили 1-ю, умноженную на 5,

затем от 3-й отняли 1-ю, умноженную на 6.

Так мы обнулили всё ниже углового элемента .

А теперь к 3-й строке прибавили 2-ю, умноженную на 3:

.

Уже получилась треугольная основная матрица.

Ей соответствует такая система:

, т.е. , тогда , а тогда .

Теперь интеграл сводится к такому виду:

 ,

Ответ. .

Задача 313. Вычислить интеграл .

Решение. Сначала разложим знаменатель на множители:

 = .

 =  = .

, тогда

, отсюда , .

 =  =  = .

Ответ. .

Задача (домашняя). Вычислить интеграл .

Кратко: ,

, , . 

Ответ. .

 

Случай 2.  Если все корни , но среди них есть кратные.

Задача 314. Вычислить интеграл .

Решение. Наличие множителя  означает, что корень 0 кратности 2. Фактически даже можем рассматривать в таком виде: .

Сначала извлечём дробь из интеграла, и ищем разложение в виде:

 =

Приводим к общему знаменателю.

 =

Так как знаменатели равны, то осталось приравнять числители.

 = ,

 =  

 =

Тогда надо приравнять коэффициенты при каждой степени, получится , , .

То есть система уравнений на поиск трёх неопределённых коэффициентов:

решая эту систему, находим .

Тогда исходный интеграл распадается на сумму:

 =  =

 = .

Задача 315. Вычислить интеграл . 

Решение. Как видим, здесь корень 1 имеет кратность 2. Разложение на простейшие дроби нельзя проводить так, как будто бы здесь три независимых множителя , , , т.е. , иначе получится противоречие, ведь общий знаменатель будет содержать всего лишь 1-ю степень  но никак не вторую. Надо степени знаменателя учитывать по возрастающей, до кратности корня, а именно, так: .

Приведём к общему знаменателю:

.

Числитель этой дроби равен числителю исходной, той, которая была в интеграле:

.

, система:

. Построим расширенную матрицу и решим систему уравнений:

.

Система приведена к виду:

Тогда , , . И теперь интеграл распадается на сумму трёх интегралов: .

В 1 и 3 слагаемых - как раньше, а вот во 2-м логарифм в ответе не получится, ведь тут уже 2-я а не 1-я степень в знаменателе.

Полезно вспомнить, что .

То есть, интеграл от -2 степени будет содержать -1 степень, и меняется знак.

Ответ. .

 

Задача 316. Вычислить интеграл .

Решение.  =  = .

Здесь корень 0 имеет кратность 2, остальные корни простые.

 = .

После приведения к общему знаменателю, числитель будет такой:

.

После приведения подобных:

, это надо приравнять к

. Получится систему с 4 неизвестными:

Поскольку A,B определяются сразу же, , ,

то матрицу 4 порядка для метода Гаусса строить не надо, а останется только маленькая система на C,D.

тогда , .

, то есть, как видим, некоторые слагаемые в некоторых примерах могут и пропадать, однако те, где степень самая высокая, равная кратности - не могут, так, здесь не могло бы быть , иначе возникло бы противоречие при приведении к общему знаменателю.

 = .

Ответ.

 

Случай 3. Если есть комплексные корни (не все корни ).

Множители 2 степени типа  или  с отрицательным дискриминантом +  +...

Задача 317. Вычислить интеграл .

Решение. Ищем разложение в виде:  = .     Приводим к общему знаменателю.

=    

 =   

 =   

 = .

Получаем систему:

. Из разности 1-го и 2-го уравнения, получаем .

В то же время, . Тогда . Тогда .

Итак, заменим в интеграле «большую» дробь на сумму маленьких, каждая из которых приводится к табличному интегралу.

 =  = .

Итак, мы рассмотрели все типы рациональных дробей. Других случаев нет, т.к. неделимых множителей 3-й степени уже быть не может, для многочлена 3 степени есть хотя бы один действительный корень.

Задача 318. Вычислить интеграл .  

Решение. Запишем разложение на простейшие дроби: .

Это равно . 

Тогда .

, итого , , .

Тогда .

Во втором слагаемом, можно подвести под знак дифференциала:

 =  = .

Ответ. .

«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»