Величина- понятие аксиоматическое.

Понятие величина всегда в той или иной степени рассматривалось в курсе арифметики, начиная с момента появления соответствующих учебников (в России таковые появились в начале XVIII в.), а затем с 70х годов прошлого столетия и в курсе математики начальных классов. Термин величина стал широко использоваться в курсе математики в начальной школе в связи с необходимостью общей трактовки этого понятия в различных дисциплинах. В курсе арифметики использовался другой термин — именованное число, который и сейчас можно встретить в обучении математике в начальных классах. В большинстве учебников математики (например, учебники авторского коллектива под руководством М.И. Моро), по которым обучение начинается с изучения нумерации натуральных чисел первого десятка, сравнение величин и действий с величинами, как правило, сводятся к соответствующим операциям над числовыми значениями, т.е. проводятся опосредованно. И лишь в некоторых случаях сравнение производится непосредственно, например, с помощью наложения. Несмотря на то что величины в указанных учебниках в основном отождествляются с числовыми значениями величин, постепенно у учащихся формируется представление о самих величинах: длине, площади, массе и т.д. При этом четкого обоснования связи величин и чисел (всякую величину a при выбранной единице измерения е можно представить в виде a = kе), непосредственного и опосредованного способов сравнения величин (если две величины находятся в отношении «больше», то и соответствующие числовые значения находятся в таком же отношении) не приводится. Указанные связи постепенно раскрываются в практических действиях над величинами. Совершенно другой подход наблюдается в учебниках математики для начальных классов, написанных в соответствии с системой Д.Б. Эльконина — В.В. Давыдова (авторы В.В. Давыдов, О.В. Савельева, Г.Г. Микулина, С.Ф. Горбов). По этим учебникам курс математики начинают изучать с величин и их основных свойств. Сложение, вычитание, сравнение геометрических (длина, площадь) и физических величин (масса, время, емкость) проводятся с помощью практических действий: откладывания суммы отрезков, наложения отрезков, сравнения масс с помощью весов, уравнивания масс на весах и др., — в ходе которых выявляются и обобщаются основные свойства величин (сравнимость, возможность складывать, переместительное и сочетательное свойства сложения, возможность вычитать из большей величины меньшую, неизменяемость суммы при замене равных величин на равные, монотонность сложения), которые затем используются в качестве средства для изучения чисел, действий над ними и законов этих действий. Трудность, а во многих случаях невозможность непосредственного сравнения величин позволяет мотивировать введение понятия числа, после чего действия над величинами более обоснованно сводятся к действиям над числовыми значениями величин при выбранной единице измерения. Таким образом, понятие величины как одно из важнейших математических понятий может служить теоретической основой для введения понятия числа и изучения действий с числами. При сравнении методик формирования понятия числа в различных учебниках математики для начальных классов невольно возникает вопрос: что в своей практической деятельности человек начал использовать раньше — числа или величины? Ответ на этот вопрос склоняется в пользу величин, так как первоначально человек встретился с необходимостью сравнивать расстояния, длины предметов, например, при изготовлении стрел одинаковой длины. Позднее люди научились считать предметы, а вместе с ними и именованные числа. Наименование здесь выступало в роли единицы счета, или, как мы теперь говорим, единицы измерения величины. Другими словами, имен ванные числа — это форма представления величин. Числа как таковые еще не выделялись, они использовались только вместе с наименованиями. Чтобы получить числа в «чистом виде», необходимо было «оторвать» их от наименований, рассмотреть операции над ними и их свойства. Эта работа была проделана успешно в период образования научных школ в Древней Греции и в странах Дальнего Востока. Обобщению творчества математиков школ Древней Греции посвящен знаменитый труд Евклида «Начала». Здесь приводится и первое аксиоматическое определение величины. Перечислим аксиомы Евклида, описывающие общие свойства положительных скалярных величин: — равные одному и тому же равны между собой; — если к равным прибавить равные, то и целые будут равны; — если от равных отнимаются равные, то и остатки будут равны; — если к неравным прибавляются равные, то и целые будут не равны; — удвоенные одного и того же равны между собой; — половины одного и того же равны между собой; — совмещающиеся друг с другом равны между собой; — целое больше части. Представленная система аксиом в целом не удовлетворяет современным требованиям к подобного рода системам, так как она является зависимой и не является полной (например, четвертая аксиома является следствием второй). Однако математическая теория Евклида до сих пор привлекает внимание историков, методистов, а также самих математиков, так как обладает значительными дидактическими достоинствами: геометрический язык позволяет в тесной связи рассматривать арифметические, геометрические и алгебраические факты; достаточно простой язык позволяет использо вать его в школьных курсах математики. Видимо, поэтому геометрический язык все больше места занимает в школьных учебниках математики начальных классов, все чаще можно услышать рассуждение учащихся с логическим клише: «если к равным прибавить равные, то и получатся равные».

Статья 9.

Как рождается величина

Автор:С.Е.Царева Журнал:Начальная школа, 2000 год, выпуск 6.

Ссылка: https://n-shkola.ru/archive/view/75

Статья 10.

Развитие визуального мышления младших школьников при формировании понятия "масса". Автор: Григорьева.Ж.В Журнал: Начальная школа плюс до и после Ссылка: https://www.elibrary.ruh/item.asp?id=17823615

Статья 11.