Общеметодический подход к изучению основных величин в начальной школе.

Знакомство с величинами в начальной школе, посредством общеметодического подхода, представляет собой актуализацию знаний о величинах, которые получили дети в дошкольных образовательных учреждениях.

Программа начального курса математики, как уже отмечалось ранее, предполагает ознакомление с такими величинами, единицами их измерения, как длина, масса, емкость, площадь, время, скорость, стоимость, при этом каждая величина предусматривает методические особенности, отражающие ее специфику. Несмотря на это, существует общий подход (если мы рассматриваем величину как свойство предмета) и методика их изучения. Учитель, применяя единый методический подход, осознанно упрощает организацию деятельности обучающихся [10, 48].

Поскольку изучение величин является связующим звеном с реальной жизнью, то и при изучении этого понятия необходимо использовать конкретные ситуации из жизни младшего школьника. Обучающиеся выполняют простейшие действия сравнения объектов по выделенным признакам, выясняя что они одинаковы либо отличаются друг от друга [11]. Например, когда ребенок берет предмет в руки, он выясняет какой из них тяжелее, а какой легче, если предметы по массе явно отличаются друг от друга. Прежде, чем происходит знакомство с темой «Масса» школьники уже знают о том, что большинство предметов, которые их окружают связаны определенными отношениями: «легче», «тяжелее», «одинаковы» (арбуз тяжелее банана, яблоко легче дыни и другие) [13].

Изучение величин в курсе математики начальной школы имеет прикладной характер. Учащиеся знакомятся с непосредственным измерением длин отрезков, определяют вместимость сосудов, массу тел, учатся определять время по часам, даты по календарю, измерять площадь фигуры с помощью палетки [12]. Анализ методической литературы по формированию

понятия «величина» в начальных классах позволил выделить следующие основные этапы в работе над величинами [10, с. 8].

Во 2 классе младших школьников знакомя с новой мерой измерения длины – миллиметром. Для мотивации введения новой меры длины учащимся предлагают с помощью линейки измерить длину разноцветных отрезков в задании № 2 [6, с. 10]. Выразить длину в сантиметрах дети не могут, так как число сантиметров нельзя представить целым числом. Характеристику длины дают следующую: синий отрезок чуть больше 3 см, а красный отрезок чуть меньше 5 см. Далее учитель сообщает, что для точного измерения длин этих отрезков нам нужно познакомиться с новой мерой длины – миллиметром. Обращает внимание детей на измерительный прибор – линейку, дети отмечают, что помимо больших черточек на ней есть еще маленькие черточки. Учитель говорит, что расстояние между двумя соседними маленькими черточками и есть один миллиметр. Выводят соотношение между сантиметром и миллиметром путем подсчета числа миллиметров, которые содержатся в одном сантиметре, и получают, что 1 см = 10 мм. Затем учитель предлагает детям произвести измерение тех же отрезков в сантиметрах и миллиметрах, а затем выразить длину в миллиметрах. Для закрепления процесса измерения в новых единицах измерения можно предложить измерить в миллиметрах, например, толщину карандаша, книги, ластика.

С единицей измерения длины «метром» дети знакомятся после изучения единицы длины миллиметр [6, с. 13]. Мотивацией введения новой единицы измерения длины стала потребность в измерении длины, ширины и высоты объектов достаточно больших по протяженности, например: класса, коридора. Известные детям меры длины очень неудобны для измерения да и большие числа у них получаются в процессе измерения. Учитель предлагает измерение провести прошагиванием вдоль длины и ширины классной комнаты, результаты измерения записываются на доске. Когда дети закончили измерять расстояние шагами и записали результаты измерения на доске, учитель спрашивает у них: «Почему результаты измерения одних и

тех же расстояний получились разные?» Наблюдательность детей позволяет им сделать вывод, что у всех шаги по длине разные. Поэтому вводится учителем новая мера длины – метр и измерительный прибор – деревянный метр (или складной метр, портняжный метр, или рулетка). Далее проводится практическая работа по измерению длины и ширины класса новыми измерительными приборами и делается заключение о точной протяженности данных параметров классной комнаты.

На уроках по изучению мер длины (или во внеклассной работе) учащихся можно познакомить со старинными русскими мерами длины, этот материал разнообразит работу на уроке и пополнит знания детей интересными фактами из истории.

Производимые измерения не должны быть самоцелью. Их обязательно нужно связать с какой – либо жизненной ситуацией, с игрой (например, с игрой «Магазин»). В качестве товаров в таком магазине могут быть лента, тесьма, резинка, лоскуты материи, полоски бумаги. Целесообразно задать на дом практичное задание измерить что – либо в квартире, например: высоту дверей, высоту холодильника, длину кухни, ширину коридора.

В 4 классе младшие школьники знакомятся с еще одном мерой длины – километром [8, с. 36]. Это достаточно большая мера длины, поэтому наглядно представить ее невозможно. Чтобы дети могли представить, что это за мера длины автор методики начального курса математики А.В. Белошистая предлагает размотать катушку ниток (стандартная катушка ниток содержит 100 м), а потом представить, что размотано 10 таких катушек ниток и вытянуто в длину – это и есть километр [3, с. 197]. Автор методики математики Бантова М.А. предлагает при знакомстве с километром провести практические работы на местности, чтобы сформировать правильное представление у детей об этой единице измерения. Для этого учитель заранее намечает путь равный 1 км и проходит вместе с детьми, предварительно дав им задание – измерить расстояние шагами и заметить время, за которое удалось им пройти это расстояние [1, с. 287]. Детей можно также познакомить, что означает слово «километр», это поможет им усвоить

соотношение между метром и километром. Итак, «кило» в переводе на русский язык означает тысяча, следовательно, 1 км = 1000 м. Домашним заданием по теме данного урока может быть сбор справочной информации о расстояниях между ближайшими населенными пунктами и городами той местности, в которой проживают дети. Этот материал может быть использован на последующих уроках для составления текстовых задач. После изучения всех мер длины, как итог всей проделанной работы, составляется и заполняется сводная таблица мер длины (она также дана на обложке учебника математики за 4 класс:

1 см = 10 мм

1 дм = 10 см

1 м = 10 дм = 100 см

1 км = 1000 м

Данная таблица поможет младшим школьникам выполнять действия с именованными числами, выраженными в мерах длины, а именно:

1) выполнять преобразования единиц одного наименования в единицы другого наименования;

2) сравнивать именованные числа в одних единицах наименования и в разных единицах наименования;

3) выполнять арифметические действия с именованными числами [9].

Одна из наиболее трудных для усвоения младшими школьниками величин является геометрическая величина – площадь. Вплотную знакомство детей с данной величиной проходит в 3-4 классах начальной школы.

Основными задачами изучения темы «Площадь и единицы площади» являются:

1) сформировать конкретные представления о площади плоской фигуры и ее измерении;

2) научить вычислять площадь прямоугольника и квадрата, как частного случая прямоугольника;

3) научить вычислять площадь произвольных плоских фигур при помощи палетки;

4) сформировать умения решать задания, связанные с понятием «площадь».

Формировать понятие о площади следует в строгой дидактической последовательности, всячески активизируя познавательную деятельность учащихся [5].

Учитель спрашивает школьников, кто из них слышал слово «площадь», и вызывает учащихся рассказать об этом. Начинается беседа, в процессе которой учитель подводит детей к такому обобщению: все предметы ограничены поверхностью; поверхность мяча (шара) круглая, а поверхность пола или крышки стола (парты) – плоская. Когда хотят узнать про размеры какой-то поверхности, тогда вычисляют ее площадь. Так можно говорить о том, какова площадь земельного участка, площадь пола в комнате. Проводя ладонью по крышки парты, стола, обложки учебника, учащиеся воспринимают поверхность соприкосновением с ней. После этого учащиеся способом наложения вырезанных из картона геометрических фигур, например, прямоугольников и квадратов разного размера, убеждаются, что площади фигур разные и что их можно сравнивать.

Учитель подводит детей к выводу, что для сравнения площадей фигур нужно познакомиться с единицами их измерения. Такими единицами измерения являются квадратные меры. Приступая к изучению квадратных мер, следует с учащимися повторить линейные меры измерения и соотношения между ними (километр, метр, дециметр, сантиметр). С помощью учителя дети делают вывод, почему все эти меры называют линейными (потому, что ими измеряют длину линий).

Далее учитель показывает две разные по форме, но равные по площади фигуры, например: прямоугольник со сторонами 25 см и 100 см и квадрат со стороной 50 см, и спрашивает: «У какой из этих фигур площадь больше?» Ни «на глаз», ни наложением учащиеся не могут с уверенностью ответить на этот вопрос. Таким образом, они приходят к выводу, что нужно измерить площадь обеих фигур и сравнить, причем за единицу измерения берут тоже какую-то площадь. Учитель показывает учащимся квадрат и предлагает

измерить его сторону. После этого учитель сообщает, что этот квадрат называют квадратным сантиметром и это есть меньшая единица площади. Учащиеся у себя в тетрадях вычерчивают квадратный сантиметр и сокращенно записывают эту единицу площади – 1 см2. Затем учитель спрашивает у детей, площадь каких предметов можно измерять квадратным сантиметром. Дети отвечают, что это может быть обложка тетради или учебника, площадь небольших геометрических фигур.

Затем выполняются упражнения в использовании квадратного сантиметра для измерения площади. Так, например, ученики чертят прямоугольник длиной 5 см, шириной 1 см, делят его на квадратные сантиметры, подсчитывают их и дают полный ответ на вопрос, чему равна площадь этого прямоугольника. Затем предлагается рассмотреть рисунок на странице учебника математики по данному уроку (задание № 1), где разные фигуры разбиты на квадратные сантиметры, а нужно определить какие они по площади. Путем подсчета квадратной меры дети узнают их площади и записывают в тетради: 8 см2, 7 см2 [7, с. 58].

Следующим этапом в изучении данной темы является знакомство с правилом нахождения площади прямоугольника. Учитель предлагает ученикам начертить в тетрадях прямоугольник длиной 7 см, шириной 3 см и разделить его на квадратные сантиметры, а затем подсчитать, сколько квадратных сантиметров получилось. В это же время учитель чертит на классной доске прямоугольник, длины сторон которого 7 дм и 3 дм. Далее происходит беседа в следующем плане:

– Разделим противоположные стороны прямоугольника так, чтобы каждое деление было равно одному сантиметру. Соединим отрезками точки деления, которые расположены на противоположных сторонах фигуры.

– Сколько получилось полос? (3 полосы, каждая длиной 7 см, шириной 1 см) Соединим отрезками точки, расположенные на двух других противоположных сторонах. Прямоугольник разбили на квадраты. Возьмите нижнюю полосу: сколько в ней квадратов? (7) Почему получилось семь квадратов? (потому что длина прямоугольника 7 см)

– Сколько таких квадратов во второй полосе (в третьей полосе)? Сколько всего квадратов в прямоугольнике? (21 квадрат) Как вы получили число 21? (умножили 7 на 3)

– Значит, если длину прямоугольника умножить на его ширину, то получится число, которое покажет, сколько квадратов в прямоугольнике. Запомните это!

– А как еще можно подсчитать квадраты? (можно по 3 квадрата взять 7 раз, и тоже получится 21 квадрат).

После чего учитель обращает детей к странице учебника, на которой записано правило вычисления площади прямоугольника [30, с. 60]: «Чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно найти его длину и ширину (в одинаковых единицах), а потом вычислить произведение полученных чисел». Выведенное правило применяется ими при нахождении площади прямоугольников (квадрата), о чем говорят задания № 3 и № 4 на следующей страницы этого учебника.

В 3 классе младших школьников знакомят с другими мерами площади – квадратным дециметром и квадратным метром. Методика введения этих единиц площади аналогична. Покажем это на примере ознакомления с квадратным дециметром [7, с. 66]. Урок можно начать с выполнения графической работы. В тетради дети по линейке вычерчивают квадрат со стороной равной 1 дм (или 10 см). Учитель сообщает, что ими изображена новая единица площади – квадратный дециметр, то есть это площадь квадрата со стороной в 1 дм. Выясняет, какие окружающие их в классе предметы можно измерять в квадратных дециметрах (крышку учительского стола или парты, поверхность классной доски, стекло в окне). Для установления соотношения между квадратным сантиметром и новой мерой площади учитель дает задание разбить построенный квадрат на более мелкие квадраты (квадратные сантиметры) и найти площадь этого квадрата в квадратных сантиметрах. Детьми устанавливается, что площадь этого квадрата равна 100 см2, то есть 1 дм2 =100 см2.

В учебнике математики за 4 класс (система «Школа России») младших школьников сразу знакомят со всеми остальными единицами площади: квадратный миллиметр, квадратный километр, ар и гектар [8, с. 39].

Для наглядного изображения единицы площади квадратный миллиметр можно использовать миллиметровую бумагу и, тем самым, показать детям насколько это маленькая мера измерения площади. Далее с детьми выводится соотношение: 1 см2 = 100 мм2, предварительно вспомнив, что сторона квадрата в 1 см – это ни что иное, как 10 мм. Следовательно, для нахождения площади квадрата, разбив его на более мелкие квадраты со стороной в 10 мм, нужно по 10 мм2 взять 10 раз, получается, что площадь равна 100 мм2.

Для измерения больших площадей, например, площадей государств, используется квадратный километр – это площадь квадрата, сторона которого равна 1 км. Соотношение между квадратным метром и квадратным километром устанавливается путем рассуждений: 1 км = 1000 м, следовательно, 1 км2 – это 1000 раз взять по 1000 м2, то есть получится 1 000 000 м2.

Площади посевных участков в сельском хозяйстве или дачных участков измеряются в арах (сокращенная запись при числах – а) и гектарах (сокращенная запись при числах – га). Ар – это квадрат со стороной 10 м и метрическое соотношение: 1 а = 100 м2. В быту данную меру площади иначе называют соткой. Гектар – это квадрат со стороной в 100 м и метрическое соотношение: 1 га = 100 а или 1 га = 10 000 м2. Последние две меры площади детям встречаются, как правило, при решении текстовых задач. В процессе неоднократного решения таких задач детьми закрепляется соотношения между данными единицами измерения площади.

В 4 классе младшие школьники учатся измерять площадь плоских фигур с помощью палетки [8, с. 43]. Палетка – это прозрачная сетка, расчерченная на квадратные сантиметры. Вычисляют площадь фигуры с помощью палетки так: плотно накладывают на фигуру палетку, потом пересчитывают целые квадратные сантиметры палетки, которые покрывают фигуру, затем пересчитывают число квадратных сантиметров, которые

пересекают контур фигуры и делят полученное число пополам, то есть учитывают лишь половину квадратных сантиметров, а вторую половину отбрасывают. Суммируют количество полных и половину неполных квадратных сантиметров и получают приближенное значение площади фигуры.

Учитель на доске чертит произвольную криволинейную фигуру, накладывает на нее свою палетку, разделенную на более крупные квадраты (демонстрационная наглядность), показывает способ подсчета квадратов (полных и неполных), подсчитывают совместно и таким образом находят площадь фигуры. После этого по учебнику дети читают текст новой темы, рассматривают рисунок, делают подсчеты и находят площадь фигуры, изображенной на рисунке.

После составления и заполнения сводной таблицы мер площади учащимся предлагаются задания разных видов [4]:

1) на преобразования единиц одного наименования в единицы других наименований, например: 2 см2 = … мм2 800 дм2 = … м2

Образец рассуждения последней записи: 1м2 = 100 дм2. Узнаем, сколько всего сотен в числе 800. Всего сотен в 800 – 8, следовательно, 800 дм2 = 8 м2.

2) упражнения на сравнение именованных чисел, представленных в мерах площади, например: 2 м2 и 1000 см2. Учащиеся должны знать, выполняя это задание, что сравнивать величины можно в том случае, если они выражены в одних и тех же единицах измерения. Поэтому в нашем примере нужно либо 2 м2 выразить в квадратных сантиметрах, либо 1000 см2 выразить в квадратных метрах, а затем сравнить полученные числа при одних и тех же мерах измерения. Выберем первый путь и рассуждения будут следующими: в 1 м2 содержится 10 000 см2, а у нас 2 м2, следовательно, получаем число в 2 раза большее, то есть 20 000 м2. Сравним 20 000 м2 и 1000 м2. Так как 20 000 >1000, следовательно, 2 м2 > 1000 см2.

3) упражнение на выполнение арифметических действий над именованными числами, представленными в мерах площади. Например,

3 а – 75 м2; 10 га – 40 а.

Устное рассуждение младшего школьника представим в развернутой записи:

а) 3 а – 75 м2 = 300 м2 – 75 м2= (300 – 75) м2 = 225 м2 (здесь вспоминают соотношение, что 1 а = 100 м2);

б) 10 га – 40 а = 1000 а – 40 а = 960 а (здесь вспоминают соотношение, что 1 га = 100 а).

По окончании изучения основных величин младшим школьникам необходимо получить определенные знания, умения и навыки, в последующих классах закрепляя их. А.В. Белошистая отмечает такие:

1) обучающие овладевают знаниями о единицах величин, имея наглядное представление о каждой; знать таблицы единиц измерений величин, применяя их в решении задач, поставленных перед школьниками;

2) ученики знают какие приборы и инструменты применяются при измерении той или иной величины, а также умеют ими правильно пользоваться, к примеру, строить, измерять отрезки с помощью линейки [2].

Таким образом, по программе курса математики начальных классов предусматривается знакомство с такими основными величинами, как: длина, масса, емкость (объем), время, площадь. При изучении каждой из данных величин имеются свои методические особенности, связанные со спецификой данной величины, но общий подход к величине как к свойству предметов и явлений позволяет говорить об общей методике их изучения. Знание же единого методического подхода позволит учителю целенаправленно организовать учебную деятельность учащихся.

Статья 6.

Статья 7.

Школы г. Владимира и области в течение ряда лет работают по разным учебникам математики, которые получили название развивающие. В средней школе № 19 обучение по программе Н. Б. Истоминой проводится шестой год. За это время накопился некоторый опыт, что позволяет поделиться с коллегами особенностями проведения уроков математики в III классе при изучении наиболее трудной темы курса «Величины».

Величина, так же как и число, – основное понятие курса математики начальных классов. Одна из задач темы – формирование у детей представления о величине как о некотором свойстве предметов и явлений, которое связано с измерениями. Учащиеся получают представление о длине, массе, емкости, времени, площади и единицах их измерения.

Наибольшее количество ошибок допускают учащиеся при переводе однородных величин, выраженных в единицах одних наименований, в другие, а также при выполнении действий с однородными величинами, выраженными в единицах различных наименований.

Для устранения и предупреждения этих ошибок в учебниках математики Н. Б. Истоминой введена тема «Действия с величинами». Основная задача ее не только формирование обобщенных способов действий с величинами, но и стимулирование детей к самостоятельному поиску новых действий при работе с этими понятиями. Учебник исключает однообразие упражнений при формировании понятий о величинах. Каждое задание этой темы побуждает учащихся оперировать учебным материалом, используя такие приемы умственных действий, как анализ, классификация, аналогия и др.

Чтобы повысить интерес детей, обобщающие уроки по данной теме чаще всего объединялись одной сюжетной линией. Например, «Путешествие на воздушном шаре», «Космос», «Кругосветное путешествие». На таких уроках ученики не только выполняли задания с величинами, но и получали дополнительные сведения из истории космонавтики, астрономии, животного и растительного мира, географии, истории.

Так на одном из таких уроков, совершая путешествие вместе с Машей и Мишей на воздушном шаре, дети узнают, что первый воздушный шар, который поднялся в воздух в 1783 г., изобрели братья Монгольфье. Выясняют, сколько лет воздушному шару? (216 лет.) Сколько это веков? Кто были первыми пассажирами шара? Ученики рассуждают: «Век – 100 лет, чтобы узнать, сколько веков в 216 годах, надо 216 разделить на 100, получаем 2 века 16 лет».

Работа организуется так. Класс делится на три команды (на парте заранее разложены квадратики разного цвета: синие – для сильных по успеваемости учеников, зеленые – для средних, желтые – для слабых).

Закончив вычисления, дети находят карточки, соответствующие результатам выполненных действий, переворачивают их и читают имена путешественников: петух, баран, утка.

При проверке задания повторяются два способа сложения и вычитания величин: один связан с переводом однородных величин в единицы одинаковых наименований, другой – величины в единицы одинаковых наименований не переводятся.

Например, результат сложения 10 км 800 м + 600 м находят по-разному:

1) выражают 10 км 800 м в метрах, а затем выполняют сложение. Дети поясняют: «10 км 800 м – это 10 800 м, сложим 10 800 м и 600 м, получим 11 400 м или 11 км 400 м»;

2) выполняя сложение другим способом, дети говорят: «Сложим 800 м и 600 м, получим 1 400 м – это 1 км 400 м, да еще 10 км, получим 11 км 400 м».

Аналогичным образом выполняют действия с величинами в других случаях (17 см + 90 мм = = 17 см + 9 см = 26 см, 17 см + 9 см = = 170 мм + 90 мм = 260 мм).

Учитель говорит: «Итак, пассажирами первого воздушного шара были петух, баран и утка. Узнаем их массу. Для этого решим задачу: «Петух в 2 раза легче утки и на 49 кг 500 г легче барана. Какова масса утки, если масса барана равна 52 кг? Какова общая масса пассажиров первого воздушного шара?»

Используя схему, составленную к задаче, дети самостоятельно записывают решение:

 

1) 52 кг – 49 кг 500 г = 2 кг 500 г – масса петуха

2) 2 кг 500 г. 2 = 5 кг – масса утки

3) 52 кг + 2 кг 500 г + 5 кг = 59 кг 500 г – общая масса

О т в е т: 5 кг; 59 кг 500 г.

С целью соотношения единиц величин на данном уроке дети выполняют следующее задание. Учитель продолжает: «Воздушный шар пролетел над горами: Крымские горы Уральские горы Эльбрус 1 545 м 1 км 899 м 5 633 м».

 Предлагается сначала записать данные величины в порядке убывания, а затем сравнить их с записанными на доске величинами и выписать равные величины в три столбика.

На доске в строчку записано: 18 940 дм, 1 км 545 м, 1 894 м, 15 450 дм, 56 км 33 м, 15 км 45 м, 563 800 см, 18 940 м, 5 км 633 м.

Дети выполняют задание:

Выясняется, почему не записали в первый столбик 56 км 33 м; в третий – 15 км 45 м. Ученики дают такие пояснения: «Выразим 56 км 33 м в метрах. В одном километре 1 000 м, значит, в 56 км в 1000 раз больше, т.е. 56 000 м да еще 33 м, получится 56 033 м, не равна величине первого столбца».

Аналогично рассуждая, показывают, почему 15 км 45 м нельзя записать в третий столбик.

На обобщающих уроках предлагались задания с целью подведения детей к осознанному использованию единиц величин в практике измерения.

Например, были предложены следующие задания:

1. Заполни пропуски, определив, какими единицами пользовались при измерении:

Статья 8.