Определение скорости при истечении

 

Работа расширения рабочего тела при истечении может быть выражена как кинетическая энергия потока

, откуда следует

                            (146)

Применительно к пару скорость процесса истечения может быть выражена через энтальпию. Согласно I закона термодинамики, для бесконечно малого изменения состояния

,(где d

 = d (pv)) и

                               (147)

Выражение (147) можно представить в виде уравнения энергии потока газа или пара.

.                                     (148)

Т.к. из условия адиабатности истечения dq = 0, -di = d

.

Если пренебречь скоростью пара или газа на входе в насадок, в результате интегрирования получим

или

 Отсюда

                                           (149)

 

14.3 Массовый секундный расход газа или пара при адиабатном расширении

При адиабатном расширении осуществляется условие неразрывности струи, согласно которому массовый секундный расход жидкости G кг/сек может быть представлен как отношение секундного объемного расхода fw2 (f – сечение в м2; w2 - скорость, м/сек) к удельному объему v

              (150)

И если вместо W2 подставить его значение из (146), получим:

  (151)

 

 

14.4 Форма струи при адиабатном истечении газа и пара

Представим себе адиабатно истекающий поток упругой жидкости, конфигурация которого неизвестна. Знаем его начальные параметры и конечные. В процессе истечения происходит расширение потока упругой жидкости, возрастание удельного

                      Рис. 63

объема, непрерывное увеличение скорости истечения, давление от одного к другому произвольному сечению потока непрерывно уменьшается. Это переменное значение давления, меняющееся от сечения к сечению потока, обозначим через р2* (рис.63).

Следует отметить, что для того, чтобы использовать кинетическую энергию истекающего потока, его нужно окружить металлическим или пластмассовым соплом, которое не позволит потоку расширяться во все направления, т.е. не позволит потоку взрываться. Одновременно необходимо, чтобы такая «одежда» точно соответствовала естественной форме, которую струя стремится приобрести при своем адиабатном истечении. Если «одежда» будет велика, то поток отрывается, если наоборот, «одежда» мала, она «давит» поток, вызывая повышенные потери на трение о стенки сопла.

Приложив ранее полученное выражение (151) к адиабатно истекающему потоку, установим, что от сечения к сечению такого потока

будет меняться, т.е. выражение в квадратных скобках в (151) есть величина переменная. Введем следующие обозначения:

=

;

 

Тогда G(const) =

Отсюда видно, что f должна быть величиной переменной (

.

Таким образом, при адиабатном истечении упругой жидкости истекающий поток имеет переменную по своему сечению конфигурацию.

При этом

.                                          (152)

Проведем исследование рассматриваемого адиабатно истекающего потока упругой жидкости для трех случаев:

1. Представим истечение в «черный вакуум». В этом случае

р2* =0;

тогда

и

. В этом случае

.

2. Рассмотрим сечение потока весьма близкое к начальному сечению

р2*= р1,

.

3. Рассмотрим среднее сечение потока

р1 > р2* > 0

. В этом случае

.

В соответствии с проведенным анализом следует вывод: поток в начале и конце имеет бесконечно большое сечение, а в середине потока его сечение имеет конечную величину.

Проводя анализ сделанных допущений, делаем вывод о том, что ранее высказанное предложение об истечении в Торричелеву пустоту не состоятельно, ибо даже в космическом пространстве давление больше нуля. В любом возможном техническом случае р2 может быть бесконечно мало, но не ноль. Тогда

0, следовательно,

и

.

Анализируя второй случай, приходим к выводу: поток образуется за счет какого-то перепада давлений, но

, раз есть поток, поэтому

.

Таким образом, при адиабатном истечении упругой жидкости истекающий поток приобретает конфигурацию переменного сечения, т.е. поток вначале суживается, а затем расширяется.

Условно р в суженной части потока обозначается через ркр, соответственно и скорость в этой части - Wкр.

Возвращаясь к (152), приходим к заключению, что переменная конфигурация истекающего потока предопределяется переменным значением величины

.

14.5 Критическое отношение давлений

Определим значение

 для суженной части потока, в котором давление равно ркр

.

Для этого проверим функцию

на экстремум, т.е. приравняем нулю производную

. Получим

;

; отсюда

.

Окончательно получим

                                      (153)

Оказывается, давление в суженной части потока

не зависит от р 2, а зависит только от р 1 и рода истекающей упругой жидкости, так как

. Численное значение

для различных упругих жидкостей равно:

для газа (n = k = 1,41)   = 0,528; для перегретого пара (n = 1,3)   = 0,546; для сухого насыщенного пара (n = 1,135)

 = 0,577.

Для влажного насыщенного пара

 определяется в зависимости от степени сухости пара х.

 

14.6 Построение сопла для использовании полного теплоперепада
(сопла переменного сечения – сопла Лаваля)

 

В 1889 г. Лаваль предложил сопло для использования полного теплоперепада. Взяв за исходное выражение (151) и сделав простейшие преобразования, получим:

 

 

                 Рис. 64

.                        (154)

Подставим в (154) численное значение 

 

и построим зависимость f = f (β).

Рассматривая полученный график (рис. 64), устанавливаем, что процесс истечения можно рассматривать как процесс двухэтапный: I этап – докритическое истечение, II этап – закритическое.

Изменяющаяся конфигурация сопла – суживающаяся на I этапе, имеет строгое математическое объяснение и физически объясняется тем, что на I этапе срабатывается высокий перепад давлений (р1 – ркр), а за счет этого резко возрастает скорость (от w1 до wкр, wкр равно скорости звука при ркр). В области больших давлений (докритического истечения) рост скорости превосходит рост удельного объема – поток сужается. В области низких давлений (закритическое истечение) рост удельного объема превосходит рост скорости – поток расширяется.

Для построения сопла переменного сечения необходимо задать значения: G;

; t 1; р2  и определить f 2; f кр.

     В i - s диаграмме процесс адиабатного истечения пара изображен линией 1 – 2 (рис. 65а, рядом на рис. 65б показано построение сопла, описанное чуть

 

                                 а)                                                              б)

Рис. 65

ниже).   

Площадь выходного сечения сопла определяется из уравнения неразрывности

,

где v2 определяется по i-s диаграмме, ркр сначала находим приближенно, принимая

, (т.е. вначале определяется

). Затем это значение определяется точно - для СНП или ВНП.

     Площадь сечения сопла в самой узкой части

.                                 (155)

Построение самого сопла ведется в следующей последовательности: если сопло считается круглым, то перпендикулярно оси Х – Х в соответствующем масштабе откладываются dкр и d2, которые определяются по fкр и f2.

Затем на оси Х – Х выбирается точка, из которой проводятся два луча под

, а потом выполняют локальные кривые для условия безударного входа пара в сопло.

Чем больше , тем короче сопло и тем меньше потери на трение о его стенки истекающего потока, но тем больше опасность отрыва истекающей струи от стенок сопла. На основании многолетнего опыта конструирования различных сопел

выбирается в пределах 11

.