Повторные независимые испытания. испытания по схеме Бернулли

На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появится событие . При этом интерес представляет исход не каждого отдельного испытания, а общее количество появлений события  в результате определенного количества испытаний.

Испытания называют повторно независимыми, если испытания являются независимыми и вероятность появления события  в каждом испытании постоянна.

Повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события , называют испытаниями Бернулли, или схемой Бернулли.

Пусть производится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события  постоянна и равна . Требуется найти вероятность  того, что при  повторных испытаниях событие  произойдет  раз.

В зависимости от значений  и  задача предложенного типа решается по различным формулам.

· Если , то используют формулу Бернулли:

 

,

 

где -вероятность не наступления события  в каждом испытании.

· Если  и , то используют локальную теорему Лапласа:

 

,

 

где , .

Значения  находят по таблице приложения 1. Функция  четная, т.е. , таблица содержит значения функции лишь для ; для  можно принять .

· Если  и , (либо ) то используют формулу Пуассона:

 

,

 

где .

Пример. Вероятность появления события  в каждом из  независимых испытаний постоянна и равна . Определить вероятность того, что:

1) Событие  наступит ровно  раз;

2) Событие  наступит не менее  раз.

Решение. По условию ; . Т.о. для решения задачи используют формулу Бернулли.

1) Вероятность того что событие  наступит  раз: ; .

Искомая вероятность:

.

2) Событие  наступит не менее  раз (следовательно событие  наступит или  раз, или  раз, или  раз). Используем теорему сложения вероятностей несовместных событий и формулу Бернулли:

.

;

;

.

Искомая вероятность:

.

Пример. Процент всхожести семян . Определить вероятность того, что из  посеянных семян взойдут .

Решение. Т.к. процент всхожести семян , то вероятность взойти для каждого семени постоянна и равна . Количество посеянных семян (общее количество испытаний) . Т.к.  и , то используем локальную теорему Лапласа:

 

, где ;

; .

 

Откуда .

По таблице значений функции  (приложение 1), учитывая четность функции, найдем:

 

.

 

Искомая вероятность:

.

Пример. Вероятность того, что станок изготовит бракованное изделие постоянна и равна . Найти вероятность того, что из произведенных станком изделий:

1) ровно  бракованных;

2) не менее  бракованных.

Решение. Вероятность изготовления бракованного изделия постоянна и равна . Общее количество изготовленных изделий (общее количество испытаний) . Т.к.  и , то используем формулу Пуассона:

 

, где .

 

1) Среди изготовленных изделий ровно  бракованных: ;

.

Искомая вероятность:

.

2) Для определения вероятности того, что среди изготовленных деталей не менее  бракованных целесообразно найти вероятность противоположного события: среди изготовленных деталей меньше  бракованных.

 

.

 

Событию, среди изготовленных деталей меньше  бракованных, благоприятны исходы:  бракованных деталей, или  бракованная деталь, или бракованных детали.

Используя теорему сложения вероятностей несовместных событий и формулу Пуассона, найдем вероятность того, что среди изготовленных деталей меньше  бракованных:

 

.

;

;

;

 

Следовательно

 

.

 

Искомая вероятность:

 

.

 

Наивероятнейшим числом появления события  в  независимых испытаниях называют такое число , для которого вероятность, соответствующая этому числу, превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события .

Для определения наивероятнейшего числа не обязательно вычислять вероятности возможных чисел появлений события, достаточно знать число испытаний  и вероятность появления события  в отдельном испытании.

Для определения наивероятнейшего числа используют двойное неравенство:

 

 

Следует иметь в виду, что:

1) если  - целое число, то существуют два значения наивероятнейшего числа, а именно:  и ;

2) если - дробное число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: единственное целое, заключенное между дробными числами, полученными из неравенства;

3) если  - целое число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: .

Пример. Определить наивероятнейшее число качественных изделий в партии из  изделий, если вероятность качественного изделия равна .

Решение. По условию , ; следовательно .

Используя неравенство:

имеем

;

откуда

.

Следовательно, наивероятнейшее число качественных изделий в партии из  изделий равно .

Предположим, что проводится  независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события  постоянна и равна . Требуется найти вероятность  того, что при  повторных испытаниях событие  произойдет не менее  раз и не более  раз. Это можно сделать с помощью интегральной теоремы Лапласа:

 

,

 

где , ;

 

, Значения  находят по таблице приложения 2. Функция  нечетная, т.е. , таблица содержит значения функции лишь для ; для  можно принять .

Пример. Вероятность того, что деталь изготовлена с нарушениями стандартов равна . Найти вероятность того, что среди  случайно отобранных деталей нестандартных окажется от  до деталей.

Решение. По условию , , , , следовательно .

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

 

, где , ;

 

найдем

;

.

По таблице значений функции  (приложение 2), учитывая нечетность функции, найдем:

;

.

Искомая вероятность:

.