Теорема умножения вероятностей зависимых событий.

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго:

 

.

Следствие: Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятности каждого последующего события вычисляются в предположении, что все предыдущие события уже появились.

 

.

 

где – вероятность события , вычисленная в предположении, что события , , …,  наступили.

Пример. В ящике  шаров:  синих и  желтых. Наудачу из ящика вынули один шар, а затем второй (не возвращая их обратно). Найти вероятность того, что первый из взятых шаров синий, а второй желтый.

Решение. Событие  – первый взятый шар синий. Вероятность события : .

Событие  – второй взятый шар желтый. Вероятность события , вычисленная в предположении, что первый шар синий (т.е. условная вероятность) равна: .

Искомая вероятность по теореме умножения вероятностей зависимых событий равна:

 

.

 

Формула полной вероятности. Формула Бейеса

Пусть событие  может наступить при условии появления одного из несовместных событий , , …, , которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности , , …,  события . В поставленных условиях вероятность события  можно найти по формуле:

 

 

формулу называют формулой полной вероятности;

события , , …,  называют гипотезами.

Пример 1. На контроль поступают детали с двух станков. Производительность станков не одинакова. На первом станке изготовляют  всех деталей, на втором – . Вероятность брака на первом станке , на втором – . Найти вероятность того, что поступившая на контроль деталь бракованная.

Решение. Событие  – поступившая на контроль деталь бракованная.

 и – события означающие, что деталь сделана соответственно на первом и втором станке.

Тогда по условию задачи:

 

         

               .

 

Искомая вероятность:

 

.

 

Пусть событие  может наступить при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) , , …, , которые образуют полную группу. Если событие  уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулам Бейеса:

 

           ,

 

где  – находят по формуле полной вероятности.

Пример 2. В условиях примера 1, проверенная деталь оказалась бракованной. Определить вероятность того, что она была изготовлена на первом станке.

Решение. Искомая вероятность –вероятность, что деталь изготовлена на первом станке, при условии что уже известно, что деталь бракованная.

По формуле Бейеса:

 

 .

 

Из примера 1: ;   ; .

Искомая вероятность:

 

.