ПО «Математическому моделированию»

 

 

ВЫПОЛНИЛ:

Студент группы ИСП-О-18

Кукушкин А.А.

 

ПРОВЕРИЛА:

Шелепова Т.С.

 

Оценка ___________________

 

п. Электроизолятор

2020 г.

Цели:

1. Отработать и закрепить умения записывать условие задачи в виде математических формул.

2. Отработать и закрепить умения записывать взаимосвязь показателей задачи в виде простейшей математической модели.

 

Решение:

Прежде чем построить математическую модель задачи, т.е. записать ее с помощью математических символов, необходимо четко разобраться с экономической ситуацией, описанной в условии. Для этого необходимо с точки зрения экономики, а не математики, ответить на следующие вопросы:

1) Что является искомыми величинами задачи?

2) Какова цель решения? Какой параметр задачи служит критерием эффективности (оптимальности) решения, например, прибыль, себестоимость, время и т.д. В каком направлении должно изменяться значение этого параметра (к max или к  min) для достижения наилучших результатов?

3) Какие условия в отношении искомых величин и ресурсы задачи должны быть выполнены? Эти условия устанавливают, как должны соотноситься друг с другом различные параметры задачи, например, количество ресурса, затраченного при производстве, и его запас на складе; количество выпускаемой продукции и емкость склада, где она будет храниться; количество выпускаемой продукции и рыночный спрос на эту продукцию и т.д.

Только после экономического ответа на все эти вопросы можно приступать к записи этих ответов в математическом виде, т.е. к записи математической модели.

1) Искомые величины являются переменными задачи, которые, как правило, обозначаются малыми латинскими буквами с индексами, например, однотипные переменные удобно представлять в виде X = (x1, x2, …, xn).

2) Цель решения записывается в виде целевой функции, обозначаемой, например L(X). Математическая формула ЦФ L(X) отражает способ расчета значений параметра – критерия эффективности задачи.

3) Условия, налагаемые на переменные и ресурсы задачи, записываются в виде системы равенств или неравенств, т.е. ограничений. Левые значения ограничений отображают способ получения (расчет или численные значения из условия задачи) значений тех параметров задачи, на которые были наложены соответствующие условия.

В процессе записи математической модели необходимо указывать единицы измерения переменных задачи, целевой функции и всех ограничений.

Построим модель задачи №21, используя описанную методику.

Переменные задачи:

В задаче №21 требуется установить, сколько нужно произвести автомашин марок А1 и А2. Поэтому искомыми величинами, а значит, и переменными задачи являются количество произведённых автомашин каждого вида:

 – количество произведённых автомашин А1. (шт.)

 – количество произведённых автомашин А2. (шт.)

 

Целевая функция:

В условии задачи №21 сформулирована цель – определить план выпуска, обеспечивающий предприятию максимальную выручку. Т.е. критерием эффективности служит параметр кол-ва запасов сырья, который должен стремиться к максимуму. Потому запишем ЦФ в виде суммы всех видов предметов.

Ограничения:

Возможные покупки ограничиваются следующими условиями:

· Комплекты заготовок металлоконструкций 17шт. не более 17;

· Комплект резиновых изделий 11шт. не более 11;

· Двигатели с арматурой и электрооборудованием 6 комплектов не более 6;

· Двигатели с арматурой и электрооборудованием 5 комплектов не более 5.;

· На покупки выделяется не менее 12 тыс. д.е.;

· Кол-во купленных предметов не может быть отрицательным.

Таким образом, все ограничения задачи №21 делятся на 3 группы, обусловленные:

1) Расходом выделенных денежных средств;

2) Спросом на все товары.

3) Не отрицательностью купленных предметов.

Ограничения по покупке любого из предметов имеют следующую содержательную форму записи

Запишем эти ограничения в математической форме.

Левая часть ограничения – это количество сделанных автомашин.

Правая часть ограничения – это количество автомашин, которое требуется сделать. Таким образом, ограничение вид:

S1

S2

;

S3

;

S4

;

 

Примечание 1.1 Следует всегда проверять размерность левой и правой части из ограничений, поскольку их несовпадение свидетельствует о принципиальной ошибку при составлении ограничений.

Не отрицательность предметов задается как

 

Таким образом, математическая модель этой задачи имеет вид

Виды сырья	Запасы сырья	Виды продукции
s	b	А1	А2
S1	17	2	3	2*X1+3*X2<=17	<=	17
S2	11	2	1	2*X1+X2<=11	<=	11
S3	6	1	0	1*X1<=6	<=	4
S4	5	1	0	1*X1<=5	<=	4
Доход:		7 тыс.	5 тыс.

 

ЦФ

7

5

L(X)=7*X1+5*X2->MAX

=

43

 

 

 

Цель:

Отработать и закрепить умения записывать условие произвольной задачи линейного программирования в виде ОЗЛП.

Вариант 2 1

 

Решение:

Введем дополнительные переменные y 1, y 2, y 3, y 4. Причем в третье неравенство введем неотрицательную переменную y 3  со знаком плюс, а в первое, второе и четвертое – со знаком минус переменные y 1, y 2, y 4  запишем задачу в виде:

Перейдем от задачи нахождения максимума целевой функции к задаче нахождения минимума, помножив целевую функцию на (-1)

Таким образом, мы перешли от произвольной ЗЛП к эквивалентной ей ОЗЛП.

По правилу приведения ЗЛП к ОЗЛП, если в исходной задаче некоторое ограничение было неравенством, то оно преобразуется в равенство, введением в левую часть некоторой неотрицательной переменной.

Виды сырья	Виды продукции									Запасы сырья
s	А1	А2								b
S1	2	3	1	0	0	0	2*X1+3*X2+y1=17	17	=	17
S2	2	1	0	1	0	0	2*X1+X2+y2=11	11	=	11
S3	1	0	0	0	1	0	1*X1+y3=6	6	=	6
S4	1	0	0	0	0	1	1*X1+y4=5	5	=	5
Доход:	7 тыс.	5 тыс.

 

ЦФ

-7

-5

L(X)=-7*X1-5*X2-->MIN

=

43

 

Цель:

Отработать и закрепить умения графически решать системы неравенств, с двумя переменными.

Вариант 11.

Решение:

Для построения математической модели остается только идентифицировать переменные и представить цель и ограничения в виде математических функций этих переменных.

Таким образом, мы приходим к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений данной системы линейных неравенств требуется найти такое, при котором функция F принимает максимальное значение F max.

Построим многоугольник решений. Для этого в системе координат X1 X2 на плоскости изобразим ограниченные прямые:

 

Взяв какую-либо точку, например, начало координат, установим, какую полуплоскость определяет соответствующее неравенство. Полуплоскости, определяемые неравенствами, на рисунке показаны стрелками. Области решений нет, функция не ограничена сверху.

Цель:

Отработать и закрепить умения решения ЗЛП симплекс-методом.

Вариант 9.

Найти максимум функции

,

Если система ограничений имеет вид:

Решение:

 - свободные переменные

 - базисные переменные (зависят от свободных)

Для составления симплекс-таблиц систему ограничений и функцию F необходимо представлять и в следующем виде:

Первый шаг симплекс-метода, составляем таблицут1.1

 

Таблица 1.1

Ответ:

Х = (4,3,0,0,2,4)

L = 43

Цель:

1. Отработать и закрепить умения записывать условие транспортной задачи в виде математических формул.

2. Отработать и закрепить умения записывать взаимосвязь показателей транспортной задачи в виде математической модели.

Решение:

Определение переменных

Обозначим количество изделий, выпускаемых из i-го филиала в j-ый пункт потребления через .