Решение нелинейных уравнений

 

Иррациональные числа, которые не могут быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, называют трансцендентными числами. К таким числам относятся корни нелинейных уравнений, которые обычно решаются с помощью операторов IF – GOTO.

Задача в общем виде формируется следующим образом.

Пусть требуется с точностью  определить значение одного из корней нелинейного уравнения , исходя из значения начального приближения корня . При этом считается, что функция  удовлетворяет условию, гарантирующим существование решения и сходимость последовательности приближений к точному значения корня.

Известно множество методов вычисления корня уравнения. Все они предлагают приближение к корню по формуле:

 

, где

 

Функция  учитывает расчетную формулу метода и исходную функцию .

Обычно значение  считают достаточно хорошим приближением к точному значению корня, если выполняется условие:

 

 

При вычислении этого неравенства искомое значение корня получается равным , и вычисление прекращается.

Количество циклов приближения неизвестно, поэтому требуется анализ с помощью IF.

Студентам предлагается 3 метода решения нелинейных уравнений: метод простой итерации, метод Ньютона и метод деления пополам (метод бисекций).

 

 

Метод простой итерации

 

Задано: ,  и .

Введем обозначения: , , . При использовании метода простой итерации уравнение  необходимо решить относительно  в общем виде:

 

 

Тогда алгоритм решения будет следующим.

1. Задается значение .

2. Вычисляется .

3. Проверяется условие

4. Если условие выполняется (“истина”), то  в противном случае  и следует повторять цикл с п.2 (через GOTO).

 

 

Метод Ньютона

 

Задано: ,  и . При использовании этого метода нелинейное уравнение должно быть приведено к виду .

Введем обозначения:  - левая часть нелинейного уравнения;  – первая производная от ;

 

.

 

Так как вычисления искомого значения  производится в этом методе иначе, чем в методе простой итерации, то значения  могут использоваться без индексов. Анализ нахождения искомого значения  можно упростить. Это несложное доказательство оставляется студентам.

Итак, алгоритм решения.

1. Задаем значение   

2. Вычисляется .

3. Вычисляется .

4. Определяется .

5. Проверяется условие

Если условие выполняется, то  - искомый корень, в противном случае следует повторить цикл с п.2.

 

 

Метод деления пополам

 

Задано: ,  и интервал , где существует корень.

При использовании этого метода интервал  изменяется таким образом, чтобы оказался в -окрестности искомого корня, который может находиться как справа, так и слева от искомого . Поэтому условием нахождения искомого корня x следует считать выполнение условия

 

.

 

Для перемещения  или  интервала  используется теорема Больцмана-Коши (о существовании корня внутри интервала):

 

,

 

т.е. корень существует, если произведение функций при значениях концов интервала является отрицательным.

Алгоритм решения следующий.

1. .

2. Вычисляется .

3. Вычисляется  (или ).

4. Анализ . Если , то выход из цикла; в противном случае п.5.

5. Анализ интервала . Если условие выполняется, то выход из цикла; в противном случае надо сдвигать интервал по п.6.

6. Анализируется . Если , то ; в противном случае .

7. Вычисления отправляются к п.1 (через GOTO).

Задание 1.

1. Составить схему алгоритма для вычисления функций, приведенных в таблице 5.6.

2. Написать программу на языке BASIC.

3. Произвести расчеты на микроЭВМ.

4. Распечатать листинг программы.

5. Исходные данные, промежуточные и окончательные результаты вывести на экран монитора и на печатающее устройство.

 

Задание 2.

1. Составить схему алгоритма для вычисления функций, приведенных в таблице 5.7.

2. Выполнить пп. 2 – 5 задания 1.

 

Таблица 5.6. Список заданий

Вариант	Функции	Исходные данные
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

 

Таблица 5.7. Список заданий

Вариант	Функции	Исходные данные
1	причем х – корень нелинейного уравнения ln x – x + 1,8 = 0, которое необходимо решить методом деления пополам с точностью e.	a = 1 b = 4 c = 3 e = 10^-4 Интервал существования корня [1,7; 3,3]
2	причем х – корень нелинейного уравнения x – sin x = 0,25, которое необходимо решить любым методом с точностью e при начальном значении x0.	a = 2,23 b = 13,12 e = 10^-5 x0 = 1,17
3	причем х – корень нелинейного уравнения x = e ^- ^x, которое необходимо решить методом Ньютона с точностью e при начальном значении x0.	a = 3,17 b = 7,51 e = 10^-4 x0 = 0
4	причем х – корень нелинейного уравнения x ^2 – sin 5 x = 0, которое необходимо решить методом Ньютона с точностью e при начальном значении x0.	a = 0,71 b = 2,23 e = 10^-3 x0 = 0,58
5	причем х – корень нелинейного уравнения x – sin x = 0,25, которое необходимо решить методом простой итерации с точностью e при начальном значении x0.	a = 1,21 b = 10,01 e = 10^-4 x0 = 1,18
6	причем х – корень нелинейного уравнения x = e ^- ^x, которое необходимо решить методом деления пополам с точностью e.	a = 1,05 b = 10,1 e = 10^-5 Интервал существования корня  [-1; 1]
7	причем х – корень нелинейного уравнения x – sin ^2 x = 0,25, которое необходимо решить методом простой итерации с точностью e при начальном значении x0.	a = 3,01 b = 8,15 e = 10^-4 x0 = 1,16
8	причем х – корень нелинейного уравнения x ^2 – sin 5 x = 0, которое необходимо решить методом деления пополам с точностью e.	a = 2,25 b = 7,15 e = 10^-5 x0 = 1,17
9	причем х – корень нелинейного уравнения x ^3 – cos 2 x = 0, которое необходимо решить методом Ньютона с точностью e при начальном значении x0.	a = 1,75 b = 3,25 e = 10^-5 Интервал существования корня  [-5; 2]
10	причем х – корень нелинейного уравнения 10 x = lnx + e^x, которое необходимо решить методом деления пополам с точностью e.	a = 1,96 b = 1,05 e = 10^-5 Интервал существования корня  [-2,7; 4,3]