Системы счисления микроэвм. Двоичная арифметика. Разрядные сетки. Прямой и дополнительный коды

 

Системы счисления

 

Система счисления - это способ представления любого числа посредством некоторого алфавита символов. Различают непозиционные системы счисления (например, римская), позиционные (десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и др.) и системы с иррациональным основанием (коды Фибоначчи). Количество раз­личных цифр в позиционной системе называют основанием системы S.

Любое число N в позиционной системе с основанием S пред­ставляется формулой

 

, (2.1)

 

где k - количество цифр в числе N; a - любые из S цифр системы счисления.

Если найдено представление числа N в виде (2.1), то само число можно записать в виде:

 

(2.2)

 

Например, если десятичное число выражается полиномом , то само число равно 125,15₁₀.

В двоичной системе счисления (2 с/с) используются только две цифры: 0 и 1; в восьмеричной (8 с/с) - восемь цифр: 0-7; в шест­надцатеричной (16 с/с) - десять цифр: 0-9 и шесть букв: А, В, С, D, Е, F. МикроЭВМ так же, как и другие ЭВМ, работают с инфор­мацией, представленной в 2 с/с.

Для связи оператора с микроЭВМ (для ввода и вывода данных, команд, адресов) используется 8 с/с (микроЭВМ типа DEC) или 16 с/с (микроЭВМ типа INTEL), так как в 2 с/с запись информа­ции получается длинной и неудобной для оператора.

Перевод чисел из 10 с/с в другую позиционную систему с основанием S осуществляется по разным правилам для целой и дробной частей числа.

Перевод целых чисел. Для перевода целого числа из 10 с/с в систему с основанием (2 с/с, 8 с/с, 16 с/с) необходимо последовательно разделить это число и получаемые частные на основание S до тех пор, пока час­тное не станет меньше S. Запись числа производится, начиная с последнего частного, с присоединением остатков в последовательно­сти, обратной их получению.

 

Пример. Перевести число 33₁₀ в 2 с/с.

 

-	33	2
	32	-	16	2
	1		16	-	8	2
			0		8	-	4	2
					0		4	-	2	2
							0		2		1
									0

 

Запись. 33₁₀ = 100001₂ = 41₈ =21₁₆.

 

Перевод дробных чисел. Для перевода дробной части из 10 с/с в систему S (2 с/с, 8 с/с, 16 с/с) необходимо умножить эту дробь и дробные части (без учета целых) получающихся произведений на основание S. Запись дроби производится с нуля с добавлением после запятой целых частей (сверху - вниз) получающихся произведений. Если при последовательном умножении после запятой не получаются нули, то перевод осуществляется с заданной точностью.

 

Пример. Перевести 0,625₁₀ в 2 с/с.

 

X	0,	625
		2
X	1,	250
		2
X	0,	50
		2
	1,	0

Запись: 0,625₁₀ = 0,101₂ = 0,5₈ = 0,A₁₆.

 

В последней записи число 10 заменено символом А в соответствии со способом кодирования в 16 с/с (см. табл.2.1).

Перевод чисел из 10 с/с в 2 с/с можно производить, используя формулу (2.1), а также через 8 с/с или 16 с/с.

Очевидно, что основания 8 с/с и 16 с/с есть степени основания 2 с/с: 2³ = 8, а 2⁴ = 16. Следовательно, для записи каждой цифры восьмеричного числа необходимо три двоичных разряда (триада), а для представления каждой цифры шестнадцатеричного числа – четыре разряда (тетрада). Представление десятичных, восьмеричных и шестнадцатеричных целых чисел приведено в табл.2.1.

Перевод двоичных чисел в 8 с/с и 16 с/с. Производится путем разбиения двоичного числа на триады и тетрады соответственно влево и вправо от запятой с последующей заменой триад и тетрад на их символьные эквиваленты в соответст­вии с табл.2.1. Недостающие позиции в триадах и тетрадах запол­няются нулями.

 

Таблица 2.1. Представление чисел.

10 c/c	2 c/c	8 c/c	16 c/c
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

Перевод чисел из 8 с/с и 16 с/с в двоичную. Производится заменой каждой цифры соответствующего числа двоичной триадой и двоичной тетрадой согласно таблице 2.1. Для дробных чисел можно написать аналогичную таблицу.

 

Пример. Перевести 10001,0­­1₂­  в 8 с/c и 16 с/c.

 

Запись: 010 001,010₂ = 21,2₈

        0001 0001,0100₂ = 11,4₁₆

 

Двоичная арифметика

 

Правила выполнения арифметических действий очень просты. Они задаются таблицами сложения, вычитания и умножения (см.табл.2.2)

 

Таблица 2.2. Правила представления арифметических операций.

Таблицы
Двоичное сложение	Двоичного вычитания	Двоичного умножения
0 + 0 = 0	0 – 0 = 0	0 x 0 = 0
1 + 0 = 1	1 – 0 = 1	1 x 0 = 0
0 + 1 = 1	1 – 1 = 0	0 x 1 = 0
1 + 1 = 10	10 – 1 = 1	1 x 1 = 1

 

Правила арифметики во всех позиционных системах аналогичны (10 с/с, 2 с/с, 8 с/с и 16 с/с). Поэтому действия над двоичными числами производятся подобно сложению, вычитанию, умножению и делению целых, дробных десятичных и смешанных чисел в 10 с/с в соответствии с табл.2.2.

 

Пример. Заданы B = 110,1₂ и C = 10₂.

          Вычислить Д1 = B + C, Д2 = B – C, Д3 = B x C, Д4 = B / C.

 

+	1	1	0,	1		+	6,	5				-	1	1	0,	1		-	6,	5
		1	0				2							1	0				2
1	0	0	0,	1	2		8,	5	10				1	0	0,	1	2		4,	5	10
	x	1	1	0,	1		x	6,	5			110,1 / 10 = 11,012; 6,5 / 2 = 3,2510
				1	0				2
+					0		1	3,	0	10		-	1	1	0	1	1	0	0			-	6,	5	2
	1	1	0	1									1	0	0		1	1,	0	1	2		6		3,	2	5	10
	1	1	0	1,	0	2							-	1	0	1						-	0	5
														1	0	0								4
															-	1	0	0					-	1	0
																1	0	0						1	0
																		0							0

 

Д1 = 1000,1₂; Д2 = 100,1₂; Д3 = 1101₂; Д4 = 11,01₂.

 

Благодаря простой двоичной арифметике при работе в 2 с/с упрощаются схемы арифметических устройств.

 

 

Разрядные сетки микроЭВМ

 

Один разряд двоичного числа представляет 1 бит информации (0 или 1). Для его хранения необходимо в микроЭВМ какое-нибудь техническое устройство, например, триггер. Совокупность таких устройств для представления в машине многоразрядного числа (сло­ва) называют регистром. 8 бит информации называют байтом, 16 бит, 32 бит или 64 - слово.

2¹⁰ = 1024» 1000 = 1 кб – 1 килобайт,

1000 кб = 1 Мб – 1 мегабайт,

1000 Мб = 1 Гб – 1 гигабайт,

1000 Гб = 1 Тб – 1 терабайт.

В микроЭВМ применяют две формы представления чисел: для целых чисел и для представления чисел с плава­ющей запятой (экспоненциальная форма). Форма обычно используе­мых данных называют разрядной сеткой микроЭВМ.

Исходя из формулы (2.2), видно, что можно получить два вида разрядных, сеток для чисел с фиксированной запятой: запятая фиксируется пос­ле младшего разряда (все числа |N|>1); запятая фиксируется пе­ред старшим разрядом (все числа |N|<1).

 Для кодирования знака используется "знаковый" (старший) разряд разряд­ной сетки: 0 - соответствует плюсу, а 1 - минусу. При использова­нии обоих видов разрядных сеток для чисел с фиксированной запя­той необходимо, чтобы все данные не выходили за диапазон чисел, допустимых разрядной сеткой. С этой целью используется масштаби­рование.

Представление числа с плавающей запятой не требует масштаби­рования. Общий вид двоичных чисел: , где q - мантисса; p - порядок в двоичной системе счисления.

В разрядной сетке для чисел с плавающей запятой используются два знаковых разряда (для мантиссы и порядка), затем следуют мо­дуль порядка (обычно 7 разрядов) и модуль мантиссы. Двоичное число при таком представлении всегда имеет нормализованную ман­тиссу (до и после операций нормализация производится автомати­чески). Двоичное число нормализовано, если в старшем разряде мантиссы стоит единица.

 

 

Прямой и обратный коды

 

Для упрощения арифметических устройств вводятся специальные коды, которые позволяют операцию вычитания свести к арифметичес­кому сложению.

В микроЭВМ для представления часто применяют прямой, обрат­ный и дополнительный коды (ПК, ОК и ДК). Обратный и дополнитель­ный коды используются только для представления отрицательных чи­сел.

Код, полученный при преобразовании положительного числа называется прямым. Прямые коды двоичных чисел N и - N отличаются знаковыми раз­рядами. Для получения ОК числа - N необходимо все разряды, кроме знакового, поменять на противоположное значение. Если к ОК числа - N прибавить единицу младшего разряда, то получается дополнитель­ный код.

Пример. Записать ПК для N1 =  и ПК, ОК и ДК для N2 = - , используя восьмиразрядную сетку микроЭВМ.

ПК(N1) = 0 0000101₂

ПК(N2) = 1 0000101₂

OK(N2) = 1 1111010₂

ДК(N2) = 1 1111011₂

 

Задание.

Используя данные таблицы

1. Перевести число Д₁₀ в 2 с/с, 8 с/с и 16 с/с.

2. Вычислить с помощью двоичной арифметики: С1 = А + В; С2 = А - В;   С3 = А х В; С4 = А / В.

3. Перевести числа А, В, С1÷С4 в 8 с/с, 16 с/с и 10 с/с.

4. Округлить А, В, С1÷С4 в 2 с/с до целой части, записать ПК. Изменив знак на противоположный, записать ОК и ДК. При запи­си использовать 16-разрядную сетку микроЭВМ.

 

Таблица 2.3. Варианты заданий

Вариант	Десятичное число Д10	Двоичное число А2	Двоичное число В2
1	156,5	101000,101	1000,001
2	127,3	101111,01	101,01
3	118,4	110011,11	100,1
4	79,85	111000,01	100,1
5	132,75	111100,101	101
6	84,875	1000001,01	100,1
7	163,625	1000100,111	100,11
8	213,5	1001011,101	101
9	314,7	100100,01	110,1
10	146,27	101001,101	100,1

 

 

ЗАГРУЗКА ЯЗЫКА BASIC – ИНТЕРПРЕТАТОРА. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЯЗЫКА. ПОЛУЧЕНИЕ ЛИСТИНГА ПРОСТЕЙШЕЙ ПРОГРАММЫ