Розділ 2. Аналіз простої нелінійної кореляції

Теоретичні основи аналізу нелінійної кореляції

Як зазначалося, при прямолінійній залежності спостерігається рівномірне збільшення (зменшення) результативної ознаки під впливом відповідної зміни факторної ознаки. В статистичній практиці трапляються і більш складні зв’язки, коли із зміною аргументу змінюється не тільки функція, а і її приріст.

Нелінійні форми зв’язку різні. В статистичному аналізі найчастіше використовують параболічну і гіперболічну форми зв’язку.

Якщо криволінійна залежність має форму параболи другого порядку, зв’язок виражають таким рівнянням:

 

 

де ух – теоретичні значення результативної ознаки; а0, а1, а2 – параметри рівняння; х – значення факторної ознаки.

Параметри а0, а1 і а2 визначають складанням і розв’язанням системи трьох рівнянь:

 

 

Щоб спростити розв’язання рівнянь, замість значень х введемо відхилення від середньої (х – х). Тоді рівняння матимуть такий вигляд:

 

 

 

Оскільки і дорівнюють нулю, то після відповідних спрощень дістанемо:

 

 

Тісноту зв’язку при криволінійних формах залежності визначають за індексом кореляції (кореляційного відношення):

 

 

де - між групова дисперсія; - загальна дисперсія.

Індекс кореляції змінюється в межах від 0 до +1, тобто завжди є додатною величиною. Він показує, яку частку у загальному середньоквадратичному відхиленні результативної ознаки становить середньоквадратичне відхилення факторної ознаки.

У статистичній практиці найчастіше використовують такі формули для обчислення індексу кореляції:

 

 

Індекс кореляції можна використовувати і для визначення тісноти зв’язку при прямолінійній залежності. В цьому разі абсолютна величина індексу кореляції збігається с лінійним коефіцієнтом кореляції. Якщо зв’язок криволінійний, то і > r. Математично встановлено, що коли різниця між індексом кореляції і коефіцієнтом кореляції не перевищує 0,1, то гіпотезу про прямолінійність зв’язку можна вважати доведеною.

 

Аналіз регресії

Таблиця 5. Вихідні розрахункові дані для нелінійного кореляційного аналізу залежності урожайності зернових культур від якості ґрунту

№ з/п	Урожайність зернових, ц у	Якість грунту, балів х1	Розрахункові данні
	у	х	х-хср	(х-хср)2	y(х-хср)	y(х-хср)2	(x-xcp)4	у(х)
1	20,33	58	-7,75	60,06	-157,56	1221,07	3607,50	21,59
2	26,46	82	16,25	264,06	429,98	6987,09	69729,00	29,15
3	23,40	70	4,25	18,06	99,45	422,66	326,25	25,55
4	26,37	80	14,25	203,06	375,77	5354,76	41234,38	28,57
5	18,60	52	-13,75	189,06	-255,75	3516,56	35744,63	19,46
6	32,03	80	14,25	203,06	456,43	6504,09	41234,38	28,57
7	31,17	80	14,25	203,06	444,17	6329,46	41234,38	28,57
8	22,77	48	-17,75	315,06	-404,17	7173,97	99264,38	18,00
9	19,82	59	-6,75	45,56	-133,79	903,05	2075,94	21,93
10	25,08	72	6,25	39,06	156,75	979,69	1525,88	26,18
11	16,72	46	-19,75	390,06	-330,22	6521,85	152148,75	17,25
12	30,83	75	9,25	85,56	285,18	2637,89	7320,94	27,10
13	28,83	69	3,25	10,56	93,70	304,52	111,57	25,24
14	20,37	48	-17,75	315,06	-361,57	6417,82	99264,38	18,00
15	23,68	71	5,25	27,56	124,32	652,68	759,69	25,87
16	20,00	58	-7,75	60,06	-155,00	1201,25	3607,50	21,59
17	30,08	81	15,25	232,56	458,72	6995,48	54085,32	28,86
18	19,98	58	-7,75	60,06	-154,85	1200,05	3607,50	21,59
19	23,65	71	5,25	27,56	124,16	651,85	759,69	25,87
20	20,00	57	-8,75	76,56	-175,00	1531,25	5861,82	21,24
Разом	480,17	1 315,00	0,00	2825,75	920,73	67507,05	663503,89	480,17
Сер	24,0085	65,75	-	141,29	46,04	3375,35	33175,19	24,01

 

Підставимо дані з таблиці 5 у систему рівнянь, та отримуємо таку систему рівнянь:

 

 

Знайдемо параметри:

 

а1=0,326

а2=-0,0013

а0=24,192

 

Отже, рівняння параболи другого порядку, що характеризує залежність урожайності зернових культур від якості ґрунту, матиме такий вигляд:

 

 

На відміну від прямолінійної залежності коефіцієнти регресії криволінійного зв’язку не можна інтерпретувати однозначно, оскільки швидкість зміни результативної ознаки при різних значеннях факторної ознаки не однакова. У нашому прикладі параметр а1=0,326 показує приріст урожайності залежно від якості ґрунту, а параметр а2=-0,0013 характеризує зниження урожайності.

Знайдемо індекс кореляції:

 

 

Таблиця 6. Вихідні розрахункові дані для нелінійного кореляційного аналізу залежності урожайності зернових культур від внесення мінеральних добрив

№ з/п	Урожайність зернових, ц у	Внесено мінеральних добртв, ц д. р. х2	Розрахункові данні
	у	х	х-хср	(х-хср)2	y(х-хср)	y(х-хср)2	(x-xcp)4	у(х)
1	20,33	1,84	-0,17	0,03	-3,43	0,58	0,0008	22,63
2	26,46	2,65	0,64	0,41	16,97	10,89	0,1694	29,50
3	23,40	1,93	-0,08	0,01	-1,84	0,14	0,0000	23,43
4	26,37	2,24	0,23	0,05	6,10	1,41	0,0029	26,12
5	18,60	1,61	-0,40	0,16	-7,41	2,95	0,0252	20,52
6	32,03	2,70	0,69	0,48	22,15	15,32	0,2286	29,89
7	31,17	2,27	0,26	0,07	8,15	2,13	0,0047	26,38
8	22,77	1,96	-0,05	0,00	-1,10	0,05	0,0000	23,70
9	19,82	1,60	-0,41	0,17	-8,10	3,31	0,0278	20,43
10	25,08	2,50	0,49	0,24	12,33	6,06	0,0584	28,29
11	16,72	1,01	-1,00	1,00	-16,69	16,67	0,9940	14,71
12	30,83	2,00	-0,01	0,00	-0,26	0,00	0,0000	24,05
13	28,83	2,10	0,09	0,01	2,64	0,24	0,0001	24,92
14	20,37	1,77	-0,24	0,06	-4,86	1,16	0,0032	21,99
15	23,68	2,05	0,04	0,00	0,98	0,04	0,0000	24,49
16	20,00	1,63	-0,38	0,14	-7,57	2,87	0,0205	20,71
17	30,08	2,80	0,79	0,63	23,81	18,84	0,3925	30,68
18	19,98	1,70	-0,31	0,10	-6,16	1,90	0,0091	21,35
19	23,65	2,05	0,04	0,00	0,98	0,04	0,0000	24,49
20	20,00	1,76	-0,25	0,06	-4,97	1,24	0,0038	21,90
Разом	480,17	40,17	0,00	3,61	31,72	85,84	1,9410	480,17
Сер	24,0085	2,0085	-	0,18	1,59	4,29	0,0971	24,01

 

 

Підставимо дані з таблиці 5 у систему рівнянь, та отримуємо таку систему рівнянь:

 

 

Знайдемо параметри:

 

а1=8,787

а2=-0,645

а0=24,125

 

Отже, рівняння параболи другого порядку, що характеризує залежність урожайності зернових культур від якості ґрунту, матиме такий вигляд:

 

 

Параметр а1=8,787 показує приріст урожайності залежно від кількості внесених мінеральних добрив, а параметр а2=-0,645 характеризує зниження урожайності.

Знайдемо індекс кореляції:

 

 

кореляція регресія урожайність зерновий