Электрические цепи постоянного тока

Общие сведения. В 1802 г. В.В. Петров В. В. получил электрическую дугу и указал на возможность её применения для освещения, плавки и сварки металлов. В 1827 г. немецкий физик Ом Г. С. открыл закон, устанавливающий связь между основными величинами электрической цепи: напряжением, током и сопротивлением. В 1845 г. основополагающие законы разветвлённых электрических цепей были сформулированы немецким физиком Г. Кирхгофом. В 1844 г. русским академиком Э. Х. Ленцем независимо от английского учёного Джоуля был установлен закон преобразования электрической энергии в тепловую.

Все эти открытия и изобретения были только началом развития теории и практики электротехники. В наши дни находят разнообразные применения электрические цепи и устройства постоянного тока: в электролизе, на транспорте, в автоматике, станкостроении, приборов и многих других областях.

Электрическая цепь. Электрической цепью называют совокупность устройств и объектов, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны при помощи понятий электродвижущей силе (ЭДС), токе, напряжении и сопротивлении.

Отдельное устройство, входящее в состав электрической цепи и выполняющие в ней определённую функцию, называется элементом электрической цепи. Основными элементами простейшей электрической цепи являются источники  и приёмники  электрической энергии.

В источниках электрической энергии различные виды энергии, например химическая (гальванические элементы), механическая (электрические генераторы), тепловая (термопары), световая (солнечная батарея), преобразуются в электромагнитную или в электрическую.

В приёмниках электрической энергии происходит обратное преобразование – электромагнитная энергия преобразуется в иные виды энергии, например химическую (гальванические ванны), механическую (электрические двигатели), тепловую (нагревательные элементы), световую (люминесцентные лампы).

Электрическая цепь содержит, кроме того, вспомогательные элементы: резисторы, выключатели, предохранители, измерительные приборы и др.

 

I

Классификация по виду тока. По виду тока цепи разделяются на цепи постоянного, переменного и изменяющегося тока. Под постоянным током понимают электрический ток не изменяющийся во времени t. Все остальные токи – переменные или изменяющиеся во времени.

 

t

Постоянный ток

t

Синусоидальный ток

 

I

 

t

t

Изменяющиеся токи

Рис 1.1

1

Топологические понятия. Ветвь электрической цепи – участок, элементы которого соединены последовательно. Ток в элементах один и тот же. Узел электрической цепи – место соединения ветвей. Контур – замкнутая часть электрической цепи.
Двухполюсник – часть электрической цепи с двумя выделенными выводами  

2

1

1`

                       Рис. 1.2                                                                          Четырёхполюсник – часть электрической цепи с двумя парами выделенных выводов

2^`

1^`

                   

                           Рис.1.3

Основные явления в электрической цепи и величины, характеризующие их. Электродвижущая сила. Электродвижущая сила Е (ЭДС) характеризует способность стороннего поля (или индуцированного поля) вызывать электрический ток. Работа А в джоулях (Дж), совершаемая этими полями при переносе единицы заряда Q (1 кулон – 1 Кл), численно равна ЭДС. Из этого определения получаем единицу ЭДС: 

[E] = [A]/[Q] = Дж/Кл = В (вольт)

Электрический ток. Электрический ток – явление направленного движения свободных носителей электрического заряда. Такими носителями заряда в металлах являются электроны, в плазме, электролите – ионы.

При постоянном токе в течение каждого одинакового промежутка времени переносится одинаковый заряд Поэтому где Q – весь заряд, переносимый за время  t.

Из приведённого определения получаем единицу тока

[I] = [Q] / [t] = Кл / с = А (ампер).

Электрическое напряжение. Напряжение – скалярная величина, равная линейному интегралу напряжённости электрического поля:

т.е. напряжения – это работа сил поля с напряжённостью  затрачиваемая на перенос единицы заряда между конечными   точками a и b, т.е. напряжение , от пути интегрирования не зависит

R

За положительное направление напряжения приёмника принято направление, совпадающее с выбранными положительным направлением тока U=Uab.

b

I

a

           

Uab

                   Рис. 1.4.

Единица напряжения та же, что и ЭДС:

[U] = [A] / [Q] = Дж / Кл = В (вольт)

Электрический потенциал и разность потенциалов. Электрическое напряжение вдоль пути вне источника между точками a и b называют также разностью потенциалов  между этими  точками.

Электрическое сопротивление. Величина, характеризующая противодействие проводящей среды движению электрических зарядов, т. е. току, называется электрическим сопротивлением R.

.

Элемент электрической цепи, предназначенный для ограничения тока в цепи, параметром которого является его электрическое сопротивление R, называется резистором.

[R] = [U] / [I] = B / A = Ом.

Для проводов сопротивление находится по формуле:

где удельное сопротивление Ом  м; S – площадь поперечного сечения провода, м²; l – длина провода, м.

Сопротивление проводов и резисторов зависит от температуры окружающей среды:

где cопротивление при температуре 20 ; температурный коэффициент сопротивления, зависящий от материала.

Электрическая проводимость.  Электрическая проводимость – величина обратная сопротивлению:

G = 1 / R.

Единица проводимости:

[G] = [1 / R] = 1 / Ом = А / В = См (сименс).

Основные законы электрических цепей постоянного тока

R

U

I

Закон Ома. Закон Ома определяет связь между основными электрическими величинами на участках цепи.

 

 

 

                    Рис. 1.5.

Для каждого участка цепи, кроме источников, т. е. для пассивного участка по закону Ома:

     I = откуда производные формулы: U = RI, R = U/I.

Напряжение на пассивном участке цепи U и равное ему произведение RI называют падением напряжения.

Uab

Ucb

Обобщённый закон Ома. Закон Ома может быть записан и для участка цепи, содержащего ЭДС 

a

b

R

c

E

I

 

Uca

Рис. 1.6.

   I = (

Знак (+) в том случае, когда E и U совпадают по направлению с током.

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам электрической цепи. Он гласит: алгебраическая сумма токов в узле электрической цепи равна нулю, т. е.

где ток k – ой  ветви, присоединённой к данному узлу; n – число ветвей подключенных к узлу.

I2 E2 I1 E5 a R2 I3 I4 I5 R1     R3        Рис. 1.7. Первый закон                Кирхгофа

R3 E2 E1 R1 I2 E4 a b d c R2 I3 I4 I1 R4   r Рис. 1.8. Второй закон Кирхгофа

Токи, направленные от узла, записываются со знаком плюс, а направленные к узлу – со знаком минус.

Для узла «a»  электрической цепи, изображённой на рис. 1.7, по первому закону Кирхгофа при указанных выбранных положительных направлениях токов

I₁ + I₂ – I₃ + I₄ – I₅ = 0

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи. Он формулируется следующим образом: алгебраическая сумма напряжений на сопротивлениях (падений напряжения) этого контура равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре:
где  – напряжение на k-м сопротивлении контура; k-я ЭДС, входящая в данный контур; m – число ЭДС в контуре; n – число сопротивлений в контуре.

R₁I₁ R₂I₂ + R₃I₃  R₄I₄ = E_{1 2} E₄.

Энергия и мощность в электрической цепи. Из определения ЭДС следует, что работа, совершаемая источником электрической энергии за время t, т. е. работа сторонних сил в источнике по разделению зарядов, равна

W_И = EQ = EIt.

На пассивном участке цепи, т. е. в сопротивлении нагрузки или, как говорят, в приёмнике электрической энергии, при напряжении U и токе I расходуется энергия

Wп = UQ = UIt = RI²t = U²t/R.

Мощность Р характеризует интенсивность преобразования энергии из одного вида в другой в единицу времени. Для цепей постоянного тока мощность источника

Р_И = W_И/t = UI = RI² = U²/R.

В системе СИ единица измерения энергии является 1 джоуль (1 Дж) мощности 1 ватт (1 Вт).

Баланс мощности. На основании закона сохранения энергии мощность, развиваемая источниками электрической энергии, должна быть равна мощности преобразования в цепи электрической энергии в другие виды энергии:

где  сумма мощностей, развиваемая источниками;

 cумма мощностей всех приёмников.

Равенство называется балансом мощности электрической цепи.

Если положительное направление тока совпадает с направлением ЭДС и в результате расчёта получено положительное значение тока, то источник вырабатывает (генерирует) электрическую энергию, т. е. работает в режиме генератора. Если же получено отрицательное значение тока, то произведение EI отрицательно, т. е. источник работает в режиме потребителя и является приёмником электрической энергии. (например электрический двигатель, аккумулятор в режиме зарядки).

Распределение потенциала в неразветвлённой электрической цепи. Определение потенциалов точек цепи. При расчёте и анализе электрических цепей часто необходимо определить разность потенциалов в цепи. Для решения этой задачи предварительно необходимо рассчитать токи в ветвях цепи или вв случае неразветвлённой цепи – ток в цепи. Потенциал одной из точек, например а  принимается равным нулю и рассчитываются потенциалы всех точек схемы.

U_ba = R₁I=V_b  – V_a   т. к. V_a = 0, V_b = R₁I; V_c – V_b =E₂, V_c =V_b +E₂

U_dc =V_d  – V_c =R₂I   т. е. V_d =V_c +R₂I

V_d – V_e = E₁, т. е. V_e = V_d – E₁;

V_f – V_e = R₃I, т. е. V_f = V_e + R₃I;

  V_f  = V_e + R ₃ I.

Потенциал V_a  = V_f + R ₄ I должен получиться равным нулю.

Потенциальная диаграмма позволяет определить напряжение между любыми точками цепи.

Методы преобразования электрических цепей. Преобразование последовательного соединенных резистивных элементов При по последовательном соединении ток во всех элементов один и тот же

Рис. 1.6.

Согласно второму закону Кирхгофа:

U = R₁ I + R₂ I +…+ R_n I = (R₁ + R₂ +…+R_n) I

R _э = R₁ + R₂ + … + R_n = ,

эквивалентное сопротивление последовательного соединения равно сумме сопротивлений последовательно соединённых резистивных элементов.

Преобразование параллельно соединённых резистивных элементов.При параллельном соединении все элементы находятся под одним и тем же напряжением.

Рис. 1.8

Согласно первому закону Кирхгофа:

для проводимостей:

т. е. эквивалентная проводимость параллельно соединённых резистивных элементов равна сумме их проводимостей.

В частном случае двух параллельно соединённых резисторов их эквивалентная проводимость или эквивалентное сопротивление:

Преобразование схемы при смешанном соединении резисторов. Смешанное соединение представляет собой комбинацию последовательного и параллельного соединения.

Рис. 1.9.

.

Токи:  I = U/ ;

; .

 

Взаимное преобразование звезды и треугольника сопротивлений. По условию эквивалентности преобразований при тех же токах в обеих схемах напряжения после преобразований измениться не должны.

Рис. 1.10.

Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду. Уравнение по второму закону Кирхгофа;

Для узлов  “ a”  и “b” треугольника в соответствии с первым законом Кирхгофа

Подставим во второй закон Кирхгофа:

  откуда:

Для звезды сопротивлений:

Сравнивая эти два выражения, получим:

 

По аналогии:

пример

R _э = R + R_a +

 

Преобразование ветвей с источниками ЭДС. При последовательном соединении нескольких источников ЭДС:

 

Эквивалентная ЭДС равна алгебраической сумме последовательно соединённых ЭДС, а эквивалентное сопротивление – арифметической сумме последовательно соединенных сопротивлений.

Параллельное соединение  ветвей:

Токи в ветвях по обобщённому закону Ома:

Подставляя в уравнение для тока :

=

Для эквивалентной схемы:

Сравнивая выражения для тока :

Эквивалентная ЭДС при параллельном соединении ветвей равна алгебраической сумме произведений ЭДС ветви на проводимость ветви, делённую на сумму проводимостей ветвей.

Если в какой-либо ветви ЭДС направлена противоположно выбранному направлению эквивалентной ЭДС , то произведение записывается со знаком минус.

Методы расчёта электрических цепей.   Метод непосредственного применения законов Кирхгофа.

1. Определяется число ветвей, т.е. число неизвестных токов и узлов, которые обозначаются буквами или цифрами; выбираются произвольно и указываются положительные направления токов.

2. Общее число уравнений должно равняться числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей в. По первому закону составляется у – 1 уравнений, где у – число узлов схемы. Число уравнений, которое требуется составить по второму закону Кирхгофа в – (у – 1) независимых уравнений.  

Рис.

Для схемы рис. число ветвей в = 6, число узлов у = 4. По первому закону Кирхгофа необходимо составить у – 1 = 4 – 1= 3 уравнения, а по второму – в – (у – 1) = 6 – (4 – 1) = 3 уравнения.

При составлении у – 1 уравнений по первому  закону Кирхгофа токам, направленным от узла, приписывается знак плюс, а направленным к узлу, знак минус. При составлении уравнений по второму закону выбирается направление обхода контуров. При обходе контура в выбранном направлении ЭДС записывается со знаком плюс, если её направление совпадает с направлением обхода контура, и со знаком минус в противном случае; падение напряжения RI записывается со знаком плюс, если направление обхода ветви совпадает с положительным направлением тока, и со знаком минус в противном случае.

Для схемы рис. 1. три уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1, 2, 3:

I₁ + I₂ – I₆ = 0— узел 1;

– I₂ – I₄ + I₅ = 0 — узел 2;

– I ₁ + I ₄ – I ₃ = 0 — узел 3.

По второму закону Кирхгофа составим три уравнения:

R₁ I₁ + R₄ I₄ – R₂ I₂ = E₁ – E₂ — контур   I;

R₂ I₂ + R₅ I₅ + R₆ I₆ = E₂ — контур II;

 – R₃ I₃ – R₅ I₅ – R₄ I₄ = – E₃ — контур III.

Решив уравнение совместно, найдём искомые токи. Если численное значение какого-либо тока получается отрицательным, то это означает, что его действительное направление противоположно выбранному   положительному.

Метод контурных токов.

В основе метода лежат законы Кирхгофа и два предположения: в каждом контуре протекают независимые друг от друга расчётные токи, называемые контурными, а ток каждой ветви равен алгебраической сумме контурных токов, замыкающимися через эту ветвь

Поясним метод на примере схемы рис. 1.. Выделим в схеме три независимых контура (I, II, III) с контурными токами I ₁₁, I ₂₂, I ₃₃.  Направление контурных токов можно выбрать произвольно, совпадающие с направлениями обхода контуров.

Собственные сопротивления контуров:

R₁₁ = R₁ + R₂ + R₄; R₂₂ = R₂ + R₅ + R₆; R₃₃ = R₃ + R₄ + R₅;

Взаимные сопротивления:

R ₁₂ = R ₂₁ = R ₂; R ₂₃ = R ₃₂ = R ₅; R ₃₁ = R ₁₃ = R ₄.

Контурные ЭДС:

Е₁₁ = Е₁ – Е₂; Е₂₂ = Е₂; Е₃₃ = – Е₃.

Для контурных токов составляем уравнения по второму закону Кирхгофа: собственные сопротивления со знаком плюс (+), взаимные сопротивления со знаком минус (–).

R₁₁ I₁₁ – R₁₂ I₂₂ – R₁₃ I₃₃ = E₁₁;

– R₂₁ I₁₁ + R₂₂ I₂₂ – R₂₃ I₃₃ = E₂₂;

– R ₃₁ I ₁₁ – R ₃₂ I ₂₂ + R ₃₃ I ₃₃ = E ₃₃.

Решая систему уравнений определяем контурные токи I ₁₁, I _22, I _{33 .} Токи ветвей равны алгебраической сумме контурных токов. При этом если направления контурного тока совпадает с направлением тока ветви, то он записывается со знаком плюс, если не совпадает – со знаком минус.

Токи ветвей: I₁ = I₁₁; I₂ = – I₁₁ + I₂₂; I₃ = – I₃₃; I₄ = I₁₁ – I₃₃; I₅ = I₂₂ – I₃₃; I₆ = I₂₂.

Метод двух узлов.

Этот  метод  принимается для расчёта электрических цепей с двумя узлами, между которыми включены активные и ипассивные ветви. Идея метода состоит в том, что по расчётной формуле определяется напряжение между узлами, называемое узловым напряжением U_ab, а затем по закону Ома рассчитываются токи в ветвях. Положительные направления токов в ветвях выберем от узла a к узлу   b. Напряжение U_ab  – узловое напряжение, общее для всех ветвей схемы.

Токи в ветвях по закону Ома:

I₁ = (U_ab – E₁) G₁; I₂ = U_ab G₂;

I₃ = (U_ab + E₃) G₃;….; I_n = (U_ab + E_n) G_n.

Запишем первый закон Кирхгофа для узла a.  Подставляя значения токов в ветвях, имеем

(U_ab – E₁) G₁ + U_ab G₂ + (U_ab + E₃) G₃ + … + (U_ab + E_n) G_n = 0

или

E₁ G₁ – E₃ G₃ + … – E_n G_n = U_ab (G₁ + G₂ + G₃ + … + G_n)

Напряжение между узлами

или в общем виде

 

U_ab =

Если ЭДС направлена к узлу, обозначенному первым индексом (а), то произведение E_k G_k записывается со знаком плюс, если от узла – со знаком минус.

Принцип и метод наложения.

Принцип наложения формулируется следующим образом: ток в какой либо ветви равен алгебраической сумме частичных токов, вызванных каждым действующим в цепи источником электрической энергии в отдельности. Из принципа наложения вытекает метод наложения для расчёта электрических цепей.

Рис. 1.

Рассмотрим порядок расчёта на примере схемы рис. 1. а). Определим токи от действия каждой ЭДС, кроме одной, оставляя все сопротивления.

Для схемы рис. 1. б): 

 

Для схемы рис. 1. в):  

 

Токи в ветвях заданной схемы согласно принципу наложения равны алгебраическим суммам соответствующих схем:

 

 

Метод эквивалентного генератора.

Метод эквивалентного генератора даёт возможность часть сложной электрической цепи с источниками энергии и двумя выделенными выводами, т. е. активный двухполюсник, заменить эквивалентным генератором, ЭДС которого равна напряжению холостого хода на выводах двухполюсника и внутреннее сопротивление – входному сопротивлению двухполюсника. Если в активный двухполюсник входят все элементы схемы, кроме одного выделенного сопротивления R, то можно найти ток I в  этом сопротивлении. Метод эквивалентного генератора рационально применять, 

Рис. 1.

В сложной электрической цепи (рис. 1. а) показанной в виде активного двухполюсника А  с выделенным участком, сопротивление которого R, требуется найти ток I. Включим последовательно с сопротивлением R два источника ЭДС: (рис. 1. б) с напряжениями, равными напряжению между выводами а и b активного двухполюсника при отключенном сопротивлении R, т. е. в режиме холостого хода и направлены навстречу друг другу. Ток I при этом не изменится.

В соответствии с принципом наложения схему рис. 1. б можно представить в виде двух вспомогательных  схем, в одной из которых действует источник ЭДС  и все источники внутри активного двухполюсника (рис. 1. в), а в другой – (рис. 1. г) действует только источник ЭДС , а источник  и все источники в активном двухполюснике не действуют, т. е. активный двухполюсник становится пассивным.

По принципу наложения ток I равен сумме частичных токов вспомогательных схем: Так как то во вспомогательной схеме рис. 1. в частичный ток  равен нулю, что следует из закона Ома:  Следовательно, частичный ток (рис. 1. г) равен искомому току I. По закону Ома  

где внутреннее или входное сопротивление пассивного двухполюсника, т. е. сопротивление пассивного двухполюсника (рис. 1. г) относительно выводов a и b. Такой же ток будет и в схеме рис. 1. д), если  и . Ток I в сопротивлении исходной схемы (рис. 1. а) и в схеме рис. 1. д один и тот же, т. е. активный двухполюсник можно заменить эквивалентным генератором.

Порядок расчёта. Для расчёта тока в сопротивлении   R cледует сначала отключить это сопротивление и определить напряжение на его выводах. Далее нужно исключить все ЭДС в оставшейся части схемы (внутренние сопротивления источников остаются) и найти её сопротивление относительно выводов отключённого сопротивления. Рассчитать искомый ток.