Лабораторная работа №4. Построение трехмерных графиков

¿   Написать заголовок лабораторной работы шрифтом зеленого цвета, размером 14 пт, выбрав начертание – полужирный курсив.

       Трехмерные, или 3 D -графики, отображают функции двух переменных вида Z(X,Y). Для представления таких графиков в достаточно наглядном виде используются аксонометрическое изображение поверхностей и фигур; построение линий равного уровня; применение функциональной окраски (например, зависящей от координаты Z); применение линий каркаса с удалением невидимых линий; имитация различных световых эффектов.

       & Команда меню INSERT Þ Graph открывает следующий перечень типов трехмерной графики: Surface Plot создать шаблон для построения трехмерного графика; Contour Plot – создать шаблон для контурного графика поверхности; 3 D Scatter Plot – создать шаблон в виде точек (фигур) в трехмерном пространстве; Vector Field Plot – создать шаблон для графика векторного поля на плоскости; 3 D Bar Chart – создать шаблон для изображения поверхности в виде совокупности столбцов в трехмерном пространстве. Можно использовать операцию 3 D Plot Wizard … - вывод Мастера создания 3D-графиков.

       & Операция Surface Plot служит для построения поверхности Z(X,Y) предварительно представленной матрицей М значений аппликат Z. При этом выводится шаблон графика, левый верхний угол которого помещается в место расположения курсора. В единственный шаблон данных надо занести имя матрицы со значениями аппликат точек поверхности. Перед построением графика его надо определить математически.

       При построении трехмерных графиков можно выделить два способа: заданием функции и путем создания массива данных.

       Задача_1.    Построить график поверхности, заданной функцией f (x, y) =(x ² × y ²).

¿ _1. Построим поверхность заданием функции.

1) Задать функцию f (x, y).

2)Вывести шаблон 3D-графика с помощью команды меню INSERT Þ Graph Þ Surface Plot.

3) В левом нижнем шаблоне набрать имя функции f.

4) Щелкнув мышкой в стороне от графика просмотреть результат.

5) Щелкнув в области графика немного увеличить его размеры, растянув его границы за маркеры, удерживая нажатой левую клавишу мыши.

       Задача_2.    Построить график поверхности, заданной функцией f (x, y) = sin(xy).

¿ _2. Построим поверхность путем создания массива данных.

1) Зададим i:=0..5; j:=0..7; x_i:=0.5×i; y_j:=0.2×j.

2) Зададим . Для набора нижних индексов при Z набрать после Z символ открывающейся квадратной скобки: Z [ i,...

3) Вывести шаблон 3D-графика.

4) В левом нижнем шаблоне набрать имя матрицы аппликат Z.

5) Щелкнув мышкой в стороне от графика просмотреть результат.

Здесь два аргумента являются независимыми переменными, а функция – зависимой переменной.

Задача_3.    Построить график поверхности, заданной функцией f (x, y) = sin(x ²+ y ²) при изменении значений переменных x и y от 0 до 20.

¿ _3. Вновь воспользуемся заданием массива данных.

1) Задать функцию f(x,y):= sin(x²+y²).

2) Задать границы изменения переменных x и y: x:=0..20, y:=0..20.

3) Задать матрицу аппликат поверхности: .

4) Вывести шаблон 3D-графика.

5) В левом нижнем шаблоне набрать имя матрицы аппликат М.

6) Щелкнув мышкой в стороне от графика просмотреть результат.

       Вращение 3 D -графика. Наглядность и реалистичность изображения на плоском рисунке поверхностей и тел в трехмерном пространстве зависит от углов обзора. Для вращения любой трехмерной фигуры достаточно выделить ее изображение и, нажав и удерживая левую клавишу мыши, начать перемещать мышь по поверхности стола.

¿   Выполнить вращение построенного графика.

& Можно использовать непрерывное вращение 3D-графика в выбранном направлении. Для этого начать вращение мышью при нажатой клавише Shift.

¿   Выполнить непрерывное вращение построенного графика.

Форматирование трехмерных графиков. Для вывода окна форматирования трехмерных графиков достаточно поместить курсор мыши в выделенную область графика и быстро щелкнуть дважды левой клавишей мыши. Это окно имеет ряд вкладок и кнопки «О k», «Отмена», «Применить» и «Справка». Кнопка «Применить» позволяет проверить немедленно все введенные установки форматирования, не выходя из окна форматирования.

¿   Вызвать окно форматирования для построенного графика.

§ Вкладка General – установка общих характеристик изображения. Наиболее важная опция (Plot N) расположена внизу окна – это переключатель вида фигур, выбирая нужную опцию и нажимая кнопку Применить можно просмотреть различные типы представления уже построенной поверхности (см. типы трехмерных графиков).

¿   Просмотреть все типы. Вернуться к исходному виду. Применить опцию Show Box (поместить в ящик). Применить опцию, убирающую координатные оси: выбрать опцию None в разделе Axes Stile. Вернуться к исходному виду.

• Вкладка Advanced – установка расширенных опций (перспектива, цветовые эффекты, качество печати и т.д.).

¿   Изучить возможности Choose Colormap, выбирая разные варианты и используя кнопку «Применить».

• Вкладка Axes – установка параметров координатных осей (тип, толщина и цвет линий осей, число отметок, их нумерация, масштаб и др.). Здесь представлены вкладки, позволяющие задавать параметры отдельно для каждой из осей.

¿   Для оси Ox установим вручную число линий масштабной сетки равное 10, в разделе Grids выключив опцию Auto Grid. Покажем сетку по этой оси, для этого в разделе Grids выбрать Draw Lines. Цвет линий сетки – синий. Выполнить те же действия для осей Y и Z, меняя цвета. Вернуться к исходному виду поверхности. Для каждой оси убрать показ числовых значений, для этого выключить опцию Show Numbers в разделе Axes Format. Для каждой оси включить опцию показа разметки Draw Ticks.  

• Вкладка Appearance – установка вида графика (параметров окраски, линий и типа точек, используемых при построении фигур и поверхностей).

¿   Скроем невидимые части линий «каркаса», для этого выбрать опцию Hide Lines (погасить линии) в разделе Line Options. Просмотреть результат. Применим функциональную окраску: выбрать опцию Fill Contours в разделе Fill Options. Просмотреть результат. Покажем точки пересечения линий: включить опцию Draw Points в разделе Point Options, задать размер точек 1,5. В разделе Color Options выбрать Colormap.

• Вкладка Back Planes – установка параметров заднего плана.
• Вкладка Lighting – задание условий освещения и выбор схемы освещения.

¿   Включить опцию Enable Lighting в разделе Lighting. Применив результат вернуться к исходному виду поверхности.

§ Вкладка Special – задание специальных параметров (контурных линий, столбцов, интерполяции по цвету и др.).

§ Вкладка Title – задание титульных надписей и их параметров.

¿   Задать титульную надпись «3D Grafic», расположив ее выше графика.

¿   Закрыть окно форматирования.

Построение многогранников. Всего можно построить 80 многогранников. Для построения полиэдра выведите на экран шаблон трехмерного графика и введите в шаблон ввода Polyhedron(“#N”), где N – целое число от 1 до 80.

Задача_4.    Построить 16-тигранник. В окне редактирования графика на странице Lighting включить опцию Enabled Lighting и на странице Appearance выбрать Fill Surface в разделе Fill Options.

Задача_5.     Построить 44-гранник.

Одновременное построение разных 3 D -графиков одной функции. В ряде случаев одна и та же функция может отображаться графиками разного типа. Нередко повышению наглядности таких графиков способствует их совместное отображение. Для такого построения нужно ввести в шаблон задания матрицы ее имя два или более число раз и отформатировать каждый график под нужный тип с помощью вкладки Special окна форматирования 3 D -графика.

Задача_6.     Построить поверхность, заданную функцией f (x, y) = -sin(x ²+ y ²), с цветной окраской и под ней ту же поверхность в виде контурного графика.

¿ _6. 1) Построить поверхность, используя матрицу аппликат. 

2) В шаблоне графика к уже имеющемуся имени матрицы набрать через запятую имя матрицы М.

3) Щелкнуть мышкой вне графика.

4) В окне графика вызвать окно форматирования. Выбрать вкладку General.

5) Теперь на ней представлены возможности редактирования двух графиков (Plot 1 и Plot 2). Выбрать вкладку Plot 2, на ней выбрать опцию Contour Plot – контурный график - вторая поверхность.

6) Нажать Ok.

& Для построения на одном графике ряда пересекающихся фигур  надо задать матрицы соответствующих поверхностей и в поле вывода шаблона 3D-графика перечислить эти матрицы через запятую.

Задача_7.     Построить в одном шаблоне графики поверхностей h (x, y)= –sin(x ²+ y ²) и g (x, y)= x ²+ y ²–5 при изменении значений переменных x и y от 0 до 20.

¿ _7. Придерживаясь описанных выше инструкций, задать матрицы аппликат поверхностей:  и . При построении поверхностей, ввести в шаблон L1, L2.

Задача_8.   В этом же шаблоне построить контурный график поверхности g (x, y)= x ²+ y ²–5.

Задача_9. Построить график поверхности заданной функцией f (x, y)= –sin(x ²+ y ²).

¿ Для поверхности выбрать опцию No Fill в разделе Fill Options. В разделе Line Options включить опцию Colormap. В разделе Point Options включить опции Draw Points и Colormap, задав размер точек 2. Просмотреть результат. 

Построение поверхности тела вращения. Аналитически тела вращения обычно описываются в сферических или цилиндрических координатах. MathCAD строит трехмерные графики в декартовых координатах. В таких случаях необходимо преобразовать исходные координаты в декартовы.

Задача_10. Построение поверхности шара. Для преобразования сферических координат в декартовы будем использовать аналитические формулы.

¿ _10. 1) Задать n =40.

2) Задать ранжированные переменные i:=1.. n, j:=1.. n.

3) Задать ; .

4) Задать матрицы координат ; ; .

5) В шаблоне 3D-графика набрать (X, Y, Z).

¿   Сохранить лабораторную работу в своей папке под именем Лаб_4. mcd.

¿  Индивидуальные задания к лабораторной работе №4

I. Построить на разных шаблонах графики поверхностей. Выполнить их редактирование.

1) f (x, y) = cos(x ²+ y ²). Задать матрицу аппликат . Исследовать поведение этого графика. Для этого изменять значение в знаменателях дробей для матрицы от 2 до 10.

2) Построить график функции Розенброка: f (x, y)= 100(y - x ²)² +(1- x)². Для этого задать функцию, после этого задать переменные i =0..100, j =0..100, , . Задать матрицу аппликат .

3) Построить график функции f (x, y)= cos(xy). Задать функцию, после этого задать переменные i:=0..20, j:=0..20, , . Задать соответствующую матрицу аппликат.

4) Используя быстрый способ построения графиков функций, построить поверхность . В этом же шаблоне построить контурный график этой поверхности.

5) Используя быстрый способ построения графиков функций, построить график функции . В этом же шаблоне построить контурный график этой поверхности.