Проверка гипотез о равенстве средних

Гипотеза о равенстве двух средних значений произвольно распределённых генеральных совокупностей (большие независимые выборки).

При уровне значимости a нужно проверить гипотезу Н ₀: . Если объём обеих выборок велик, то можно считать, что выборочные средние имеют нормальное распределение, а их дисперсии известны. В этом случае в качестве статистики можно использовать случайную величину

,

имеющую нормальное распределение, причём M (Z) = 0, D (Z) = 1. Определяется соответствующее экспериментальное значение z _экс. Из таблицы функции Лапласа находится критическое значение z _кр. При альтернативной гипотезе Н ₁:  оно находится из условия F (z _кр) = 0,5 – a. Если z _экс < z _кр, то нулевая гипотеза принимается, в противоположном случае – отвергается. При альтернативной гипотезе Н ₁:  критическое значение находится из условия F (z _кр) = 0,5×(1 – a). Нулевая гипотеза принимается, если | z _экс | < z _кр.

Гипотеза о равенстве двух средних значений нормально распределённых генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки).

При уровне значимости a нужно проверить основную гипотезу Н ₀: . В качестве статистики используем случайную величину

,

имеющую распределение Стьюдента с (n _х + n _у – 2) степенями свободы. Определяется соответствующее экспериментальное значение t _экс. Из таблицы критических точек распределения Стьюдента (Приложение 4) находится критическое значение t _кр.

Гипотеза о равенстве двух дисперсий нормально распределённых генеральных совокупностей.

В данном случае при уровне значимости a нужно проверить гипотезу Н ₀: D (Х) = D (Y). Статистикой служит случайная величина

,

имеющая распределение Фишера – Снедекора с f ₁ = n _б – 1 и f ₂ = n _м – 1 степенями свободы (  – большая дисперсия, объём её выборки n _б). Определяется соответствующее экспериментальное (наблюдаемое) значение F _экс. Критическое значение F _кр при альтернативной гипотезе Н ₁: D (Х) > D (Y) находится из таблицы критических точек распределения Фишера – Снедекора (Приложение 5) по уровню значимости a и числу степеней свободы f ₁ и f ₂. Нулевая гипотеза принимается, если F _экс < F _кр.

Задания 13 1- 14 0

Заданы две выборки.

1) Для обеих выборок вычислите среднее, исправленную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Найдите размах варьирования, среднее абсолютное (линейное) отклонение, коэффициент вариации, линейный коэффициент вариации, коэффициент осцилляции.

2) Предполагая, что данная случайная величина имеет нормальное распределение, определите доверительный интервал для генеральной средней (в обоих случаях).

3) По критерию Фишера проверьте гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

4) По критерию Стьюдента проверьте гипотезу о равенстве генеральных средних (альтернативная гипотеза – об их неравенстве).

Во всех расчётах уровень значимости a = 0,05.

 

131. Выборка 1: 36; 19; 22; 39; 20; 26; 21; 26; 26, Выборка 2: 28; 24; 26; 26; 48; 22; 33 (в ньютонах).

132. Выборка 1: 128; 192; 223; 398; 205; 266; 219; 260; 264; 98. Выборка 2: 286; 240; 263; 266; 484; 223; 335. (условных единиц).

133. Выборка 1: 52, 48, 46, 55, 62, 58, 64 и 56 мин. Выборка 2: 51, 47, 44, 52, 56 и 48 мин.

134. Выборка 1: 25, 30, 42, 48, 52, 55 и 66 (условных единиц). Выборка 2: – 28; 28; 38; 38; 45; 56; 59; 60; 64; 78.

135. Выборка 1: 360; 319; 322; 339; 350; 326; 361; 326; 386. Выборка 2: 368; 354; 326; 346; 348; 357; 383 (секунд).

136. Выборка 1: 25, 130, 242, 48, 152, 138, 55 и 136 секунд. Выборка 2: 28; 128; 138; 235; 45 и 156 секунд.

137. Выборка 1: 40, 78, 89, 122, 146 и 198 кг. Выборка 2: 38, 69, 77, 99, 126, 142, 158, 162 и 226 кг.

138. Выборка 1: 8, 12, 16, 18, 24 и 44 г. Выборка 2: 8, 9, 14, 17, 19, 26, 26, 33 и 54 г.

139. Выборка 1: 50,4; 53,6; 54,4; 46,4; 44,0; 48,2; 49,4. Выборка 2: 47,2; 62,4; 64,8; 62,4; 58,9; 55,4; 66,2; 49,5; 67,8; 68,9 (ньютонов).

140. Выборка 1: 0,42, 0,52, 0,48, 0,46, 0,55, 0,62, 0,58, 0,64 и 0,56 секунд. Выборка 2: 0,51, 0,67, 0,54, 0,52, 0,56, 0,66 и 0,68 секунд.

Пример выполнения заданий 13 1- 14 0

Из первого нарезного оружия было произведено 8 выстрелов. При этом измерялись начальные скорости пуль. Получены следующие результаты: 902,4; 901,3; 898,4; 903,5; 901,1; 900,4; 899,7 и 900,3 (м/с). Из второго оружия было произведено 7 выстрелов. Скорости вылета пуль оказались равны 905,5; 910,3; 903,8; 902,4; 899,9; 903,3 и 905,6 (м/с).

Для обеих выборок вычислите среднее, исправленную дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Найдите размах варьирования, среднее абсолютное (линейное) отклонение, коэффициент вариации, линейный коэффициент вариации, коэффициент осцилляции.

Предполагая, что данная случайная величина имеет нормальное распределение, определите доверительный интервал для генеральной средней (в обоих случаях).

По критерию Фишера проверьте гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. По критерию Стьюдента проверьте гипотезу о равенстве генеральных средних (альтернативная гипотеза – об их неравенстве).

Во всех расчётах уровень значимости a = 0,05.

Решение. Для первого оружия вычислим среднее значение, исправленную дисперсию и исправленное среднее квадратическое отклонение:

, .

Для первого оружия находим другие характеристики вариации:

- размах варьирования R = x_max – x_min = 903,5 – 898,4 = 5,1;

- среднее абсолютное (линейное) отклонение

- коэффициент вариации ;

-линейный коэффициент вариации ;

 - коэффициент осцилляции .

Для доверительной вероятности g = 0,95 (уровень значимости a = 0,05) по таблице критических точек распределения Стьюдента при   f = 8 – 1 = 7 степенях свободы находим значение коэффициента t _g = 2,36. Тогда полуширина доверительного интервала

.

И с вероятностью g = 0,95 генеральное среднее начальной скорости пули лежит в интервале (900,76 ± 1,24) м/с или (899,52; 902,00) м/с.

Повторим все расчёты для второго оружия:

, .

     R = y_max – y_min = 905,5 – 899,9 = 5,6;

; ;

.

Для доверительной вероятности g = 0,95 (уровень значимости a = 0,05) по таблице критических точек распределения Стьюдента при   f = 7 – 1 = 6 степенях свободы находим значение коэффициента t _g = 2,45. Тогда полуширина доверительного интервала

.

И с вероятностью g = 0,95 генеральное среднее начальной скорости пули лежит в интервале (902,69 ± 1,63) м/с или (901,03; 904,32) м/с.

Проводим проверку гипотезы о равенстве дисперсий:

H ₀: D_x = D_y;

H ₁: D_x < D_y.

Найдём наблюдаемое значение критерия Фишера

.

f ₁ = n _б – 1 = n _у – 1 = 7 – 1 = 6 и f ₂ = n _м – 1 = n _х – 1 = 8 – 1 = 7 (числа степеней свободы). По таблице критических точек распределения Фишера – Снедекора (Приложение 5) при уровне значимости a = 0,05 и данным числам степеней свободы находим F _кр = 3,87. Т.к. F _экс < F _кр, то нет оснований отвергать нулевую гипотезу (т.е. можно считать, что дисперсии двух выборок равны).

Проводим проверку гипотезы о равенстве генеральных средних:

H ₀: ;

H ₁: .

Найдём экспериментальное значение критерия Стьюдента

Число степеней свободы f = n _х + n _у – 2 = 8 + 7 – 2 = 13. По таблице критических точек распределения Стьюдента (Приложение 4) при уровне значимости и данному числу степеней свободы находим t _кр = 2,16. Т.к. t _экс > t _кр, то нулевая гипотеза отвергается, генеральные средние двух выборок не равны.

Элементы теории корреляции

Во многих задачах требуется установить и оценить зависимость изучаемой случайной величины  от одной или нескольких других величин. Мы рассмотрим зависимость  от одной случайной (или неслучайной величины ). Рассмотрение зависимости  от нескольких случайных величин выходит за рамки данного пособия.

Две случайные величины могут быть связаны либо функциональной зависимостью, либо статистической, либо быть независимыми.

Строгая функциональная зависимость реализуется редко, так как обе величины или одна из них подвержены влиянию случайных факторов, причем среди них могут быть и общие для обеих величин. В этом случае возникает статистическая зависимость.

Статистической называют зависимость, при которой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В частности, статистическая зависимость проявляется в том, при изменении одной величины изменяется среднее значение другой. В таком случае статистическую зависимость называют корреляционной.

Приведем пример случайной величины , которая не связана с величиной  функционально, а связана корреляционно (Гмурман, ТВМС, с. 253). Пусть  - урожай зерна, а  - количество удобрений. С одинаковых по площади участков земли при равных количествах внесенных удобрений снимают разный урожай. Т. е.  не является функцией от х. Это объясняется воздействием случайных факторов, таких как осадки, температура воздуха, погодные явления – засуха, наводнения, и т.п. Вместе с тем, как показывает опыт, средний урожай является функцией от количества удобрений. Т.е. переменные  и х связаны корреляционной зависимостью.

Уравнением регрессии  на х называется условное математическое ожидание .

Уравнением регрессии х на  называется условное математическое ожидание .

Условное математическое ожидание  является функцией от х, следовательно, его оценка, т.е. условное среднее , также является функцией от х. Обозначив эту функцию , получим уравнение:

.

Это уравнение называют выборочным уравнением регрессии  на х, функцию  называют выборочной функцией регрессии, а ее график – выборочной линией регрессии  на х.

Как же найти по данным наблюдений параметры функции , если их вид неизвестен? Как оценить тесноту связи между величинами   и х и установить, коррелированны ли эти величины? Ответы на эти вопросы мы рассмотрим дальше.