Численное интегрирование по объему КЭ

При составлении системы уравнений необходимо интегрировать по объему элемента различные функции, например  (см. (12.29)).

Общая формула интегрирования – замена интеграла на сумму

,                                  (12.116)

где – весовой коэффициент: часть всего объема КЭ, для которой принято среднее значение функции ;  - координаты точки в пределах .

При интегрировании методом Ньютона весь объем разбивают на равные части, а точки  выбирают в центре каждой части. Погрешность при этом пропорциональна размеру части КЭ . Если специальным образом подобрать весовые коэффициенты  (разбить объем КЭ на неравные части), получим метод Симпсона с порядком погрешности . Если подобрать точки , в которых производится вычисление функций – получим метод Чебышева с таким же порядком погрешности. Наиболее мощным является метод Гаусса, в котором за счет выбора как весовых коэффициентов , так и точек  обеспечивается порядок погрешности .

В случае одной точки интегрирования, размещенной в центре КЭ, все методы дают точное значение интеграла для линейной подынтегральной функции. В случае двух точек по каждой координатной оси (для объемного элемента общее число точек интегрирования ) методы Ньютона, Симпсона и Чебышева дает точное значение для квадратичной функции, а метод Гаусса – для кубичной. При трех точках по оси () метод Ньютона дает точное значение для кубичной функции, методы Симпсона и Чебышева для полинома четвертой степени, а метод Гаусса – для полинома пятой степени.

Количество точек не только обеспечивает точность. Рассмотрим для примера объемный квадратичный КЭ с 20 узлами, каждый из которых имеет три компоненты перемещений, всего их 60. Вычтем шесть компонент поступательного и вращательного перемещения КЭ как жесткого тела – останется 54 степени свободы, вызывающие различные деформации элемента.

Схема интегрирования с  точками обеспечивает точное определение объема такого элемента при произвольном расположении в пространстве всех его узлов. В каждой точке имеется шесть компонент деформации, всего на весь КЭ - 48 параметров (на шесть меньше, чем степеней свободы). Это значит, что существуют шесть таких комбинаций перемещений узлов, при которых ни в одной из точек интегрирования не возникнет изменения какой-либо из компонент деформации. Следовательно элемент имеет нулевую жесткость по отношению к данным комбинациям перемещений, поскольку значение интеграла в формуле вычисления реакций в узлах будет равно нулю. Это ведет к получению вырожденной матрицы жесткости и плохой сходимости решения системы уравнений равновесия модели. Поэтому рекомендуется схема интегрирования с тремя точками по каждой оси, хотя схему с двумя точками тоже иногда применяют.

Точки интегрирования (ТИ) используют при построении системы уравнений, для вычисления интегралов вида  и . Поэтому необходимо знать все данные для этих точек: свойства материала, температуру, компоненты напряжений и т. д. Их необходимо хранить при переходе на следующий шаг решения.

После того как система решена, можно вычислить значения деформаций в любой точке любого элемента. Но для расчета напряжений по теории течения нужно знать начальные напряжения (после предыдущего шага). Поэтому на практике вычисляют значения параметров в тех же ТИ. Таким образом, с позиции расчетчика, перемещения существуют только в узлах, а параметры состояния материала – только в ТИ.

Если нужно определить перемещения во внутренних точках КЭ, применяют ФФ. Если нужно определить напряжения –их интерполируют по известным значениям в ТИ. Например, напряжение в узле можно узнать, взяв среднее от ближайших к нему ТИ, окружающих узел КЭ.

Важно, что все ТИ лежат внутри элемента. Поэтому при составлении системы уравнений достаточно по очереди обойти все элементы, а в элементе – все его ТИ. Результаты расчета заносят в единую матрицу жесткости и правую часть системы.

После решения системы все расчеты компонент НДС опять производят отдельно в каждом элементе. Для этого нужны только компоненты перемещений в узлах элемента.

Контрольные вопросы

1. В чем преимущества компьютерного моделирования перед другими методами исследования физических процессов в металле при сварке?

2. Какова роль расчетных и экспериментальных методов исследования в построении модели физического процесса?

3. Исходя из каких соображений определяют необходимую точность моделирования?

4. В каких случаях необходимо связное моделирование комплекса процессов?

5. Что общего в моделировании различных процессов энергомассопереноса (электропроводности, теплопроводности, диффузии)?

6. В чем отличие процесса деформирования упругопластического материала от процессов энергомассопереноса?

7. Для каких процессов можно рекомендовать явную схему моделирования, а для каких – неявную?