Уравнения метода конечных элементов в перемещениях

Для применения МКЭ выполняют следующую последовательность процедур:

1) Разбивают тело на простые конечные элементы (КЭ). Вместе все КЭ полностью покрывают весь объем тела. Каждый КЭ имеет несколько опорных точек (узлов).

2) Если узел лежит на границе двух КЭ, то он является общим для них (узлы скрепляют КЭ между собой, обеспечивая совместность перемещений на границах).

3) Перемещения внутренних точек КЭ однозначно выражают через перемещения его узлов с помощью интерполяционных формул (функций формы КЭ). Это обеспечивает совместность перемещений внутри элемента.

4) Деформации выражают через перемещения. Это обеспечивает совместность деформаций.

5) Напряжения вычисляют по деформациям на основе закона Гука и закона течения.

6) Получают систему уравнений относительно неизвестных перемещений узлов. Каждое уравнение является уравнением равновесия одного узла под действием на него внешних сил и сил со стороны присоединенных к нему элементов.

7) Решают систему уравнений, находят перемещения узлов, по ним находят деформации в любой точке любого элемента, а по деформациям находят напряжения.

КЭ обеспечивают кусочную аппроксимацию полей деформаций и напряжений всего тела (в каждом КЭ своя аппроксимирующая функция, они стыкуются между собой на границах элементов).

В основе метода лежит интегральное вариационное уравнение (12.92), поэтому в ходе реализации метода приходится вычислять интегралы сложных функций по объему и поверхности сложного тела. МКЭ упрощает эти процедуры:

.

Вначале весь объем интегрирования разбивают на сумму объемов КЭ. Затем подынтгральную функцию  аппроксимируют так, что в пределах каждого КЭ . Упрощения достигают за счет того, что:

1) сложную геометрическую форму тела разбивают на небольшие элементы с простой геометрией;

2) сложную функцию  заменяют на совокупность более простых, каждая из которых приближается только к фрагменту  в пределах одного КЭ.

Метод конечных элементов разрабатывали вначале для расчета стержневых конструкций. Каждый элемент представлял собой стержень с двумя узлами на концах. Для сплошного плоского тела простейший КЭ – треугольник с тремя узлами. На такие КЭ всегда можно разбить любое плоское тело.

Аппроксимируя перемещения внутренней точки  по двум осям линейными функциями

,                                    (12.93)

получим формулу, применимую для всех точек КЭ, в том числе и для трех его узлов. Это позволяет составить систему из шести уравнений и выразить шесть неизвестных коэффициентов формулы (12.93) через координаты  и компоненты перемещений  узлов  конечного элемента (рис. 12.28).

После всех преобразований получим линейную связь  с :

,                               (12.94)

где  – функции от координат узлов  и координат точки  (функции формы КЭ). Эти функции линейные, как и исходные выражения (12.93). Их свойства:

1) Если задать , то и , следовательно,  для любой точки .

2) Если точка  находится в одном из узлов (например ), то , следовательно, в каждом узле значение одной из функций равно 1, значение остальных двух равно 0.

Для нахождения функций формы в треугольном КЭ можно соединить точку  с узлами  и вычислить площади треугольников, лежащих напротив каждого узла . Общая площадь КЭ равна сумме этих площадей

,

а функции формы равны следующим отношениям:

.

Рис. 12.28. Треугольный КЭ

 

Выражения (12.94) можно записать в тензорной форме и применять для любых конечных элементов:

,                                                (12.95)

где   - вектор функций формы элемента, зависящих от координат точки и геометрии элемента; m - номер узла в элементе. Поскольку узлы также принадлежат элементу, то в каждом узле j

                                         (12.96)

(каждая функция формы в одном из узлов, при , обращается в единицу, а во всех остальных узлах - в нуль). Внутри элемента функции  могут принимать дробные значения, в том числе  и , но их сумма для любой точки равна единице.

Функция  непрерывна в пределах элемента, что обеспечивает определение компонент деформации в любой точке:

,    (12.97)

где матрицу градиентов элемента  получают дифференцированием вектора  по координатам . Таким образом, компоненты деформации во внутренних точках линейно зависят от перемещений узлов.

Подставим выражения  и из (12.95) и (12.97) в интегральное уравнение (12.92):

.

 можно вынести из подынтегральных выражений, поскольку перемещения узлов не являются функциями от координат точек КЭ:

.                 (12.98)

 и во всех внутренних точках  выражены через перемещения узлов , поэтому совместность деформаций обеспечена при любых . Значит, уравнение (12.98) обратится в тождество, если будет обеспечено равновесие напряжений. Для этого коэффициенты при всех  (выражения в квадратных скобках) в формуле (12.98) должны быть равны нулю. Условие равенства нулю одного из этих коэффициентов

                            (12.99)

является условием равновесия одного узла (m) по одной оси (k). В этом уравнении  – равнодействующая напряжений по оси k в КЭ, окружающих узел m; и – равнодействующие нагрузок  и , распределенных по объему КЭ, окружающих узел m, и по поверхности их границ.

Для всех узлов получаем систему уравнений (12.99). Число этих уравнений равно числу неизвестных . Уравнения эти в общем случае нелинейные.

Наиболее эффективный способ решения таких систем уравнений – итерационный, с решением на каждой итерации системы линейных алгебраических уравнений. Для получения такой системы из уравнений (12.99) необходимо представить выражение связи компонент напряжения  с компонентами приращения деформации за шаг решения  в линейном виде:

 .                                       (12.100)

Здесь  - упругая матрица материала

,                     (12.101)

либо упруго-пластическая матрица материала

 ,                 (12.102)

 - тензор начальных напряжений (значение  при ),

 .           (12.103)

Упруго-пластическая матрица материала (12.102), в отличие от упругой (12.101), учитывает изменение жесткости материала по различным направлениям в процессе пластической деформации. Выражение (12.100) означает, что каждый компонент напряжения зависит от всех компонент приращения деформации. Применение более сложных нелинейных зависимостей приводит к резкому замедлению решения.

Запись в выражении (12.100)  в полных значениях, а  - в приращениях наиболее удобна с точки зрения организации вычислений. Весь процесс нагружения разбивают на шаги, и итоговые деформации и перемещения определяют как сумму перемещений на отдельных шагах. Использование напряжений , а не их приращений  позволяет обеспечивать равновесие напряжений в конце каждого шага и автоматически корректировать погрешности в равновесии тела, возникающие вследствие ограниченной точности расчета.

Чтобы получить систему уравнений относительно неизвестных перемещений узлов, подставим в (12.100) вместо  выражение из (12.97):

 ,                                       (12.104)

а затем полученное выражение для  подставим в формулу (12.99):

.                        

.  (12.105)

Это линейная система уравнений:

 ,                                             (12.106)

 где - матрица жесткости тела,

-                                     (12.107)

 - вектор объемных и поверхностных внешних нагрузок, включающих в себя и составляющие от неуравновешенных начальных напряжений,

.                   (12.108)

Если все узлы находятся в равновесии, то  и  (перемещений нет). Если равновесие нарушено, возникают перемещения узлов , приводящие конечно-элементную модель в равновесное состояние.

Процедура расчета НДС сводится к составлению системы уравнений (12.106) и решению ее методом Гаусса. Граничные условия в перемещениях позволяют непосредственно определить часть перемещений в узлах, лежащих на поверхности. Перемещения в остальных узлах определяют из системы уравнений. Результатом решения являются приращения перемещений в узлах , по которым могут быть найдены любые компоненты НДС.