Кривая в форме Безье. Полиномиальное представление. Матричный вид.

Безье перегруппировал члены параметрического кубического многочлена Фергюсона таким образом, что физический смысл векторных коэффициентов стал более ясным. Это самое важное, когда мы занимаемся не подгонкой кривой, а ее конструированием. Уравнение кривой в форме Безье имеет следующий вид:

r = r(t) = (1 - t)³ r0 + 3t(1 - t)² r1 + 3t ²(1 - t)r2+ t³r3 0 <= t <= 1

Рис. 17

Теперь:

a0 = r0

a1 = 3(r1 - r0)

a2 = 3(r2 - 2 r1 + r0)

a3 = (r3 - 3 r2 + 3 r1 - r0)

Важное следствие нашей перестройки то, что теперь:

r(0) = r0

r(1) = r3

r'(0) = 3(r1 - r0)

r'(1) = (r3 - 3 r2 + 3 r1 - r0)(Рис.17).

Кривая, представленная в форме Безье, проходит через точки r0 и r3 и имеет касательную в точке r0 идущую от r0 к r1 и касательную в r3 идущую от r2 к r3.

Прямые, определяемые парами точек P0 и P1, P1 и P2, P2 и P3, образуют фигуру, называемую характеристической ломаной заданной кривой(Рис.18,19).

Рис. 18

Рис.19

Чтобы построить кривую мы задаем точки P0 и P3 через которые должна проходить наша кривая, затем, на желаемых касательных этой кривой в точках P0 и P3 задаем точки P1 и P2.

Увеличивая одновременно длины отрезков(P0 P1)и(P2 P3)мы придаем кривой большую полноту, если увеличивать один из отрезков(P0 P1)или(P2 P3), то кривая пройдет ближе к одной из касательных и форма кривой будет изменяться точно также, как она изменялась для формы Эрмита.

В матричном виде форма записи кубической кривой Безье выглядит следующим образом.

Полиномиальная кривая в форме Бернштейна-Безье.

Общий вид записи полигональной кривой представляется в виде.

где r0, r1... r_n радиус векторы n+1 вершин P0, P1... Pn некоторой обобщенной характеристической ломаной.

Форма записи кубической кривой Безье является частным случаем кривой Бернштейна-Безье, если n = 3.

Можно показать, что

r(0) = r0 r(1) = r_n

r'(0) = n(r1 - r0)r'(1) = n(r_n – r_n - 1)

Следовательно, полигональная кривая общего вида проходит через точки P0 и Pn направление касательных, в которых совпадает с направлением векторов(P0,P1)и(Pn - 1, Pn) (Рис. 20).

Рис. 20

Преимущество кривых высокого порядка состоит в том, что с их помощью можно получить непрерывность нескольких производных в местах сочленения отдельных сегментов сложной кривой.

7.Уравнение порции кубической поверхности. Полиномиальное представление. Матричный вид. (Представление Фергюсона).

Процедура задания поверхности обобщает способ задания кривой, допуская зависимость a0, a1, a2 и a3 от второго параметра s. Используя подобную кубическую параметризацию, можно записать:

r(S) = a_i 0 + s a_i 1 + s 2ai 2 + s 3ai 3

i = 0, 1, 2, 3.

По мере возрастания S от 0 до 1 кривая r(S)перемещается и изменяет свою форму и эта варьируемая кривая заметает поверхность, определяемую уравнением:

r = r(s, t) = a00 + sa01 + s²a02 + s³a03 + t a10 + t sa11 + t s² a12 + t s³ a13 +... =

i = 0 j = 0

Удобно иметь запись отсека поверхности в матричном виде:

r(s, t) = S *A*T или