При нахождении первообразных, как и при нахождении производных, используются не только формулы, но и некоторые правила.

Правило 1. Первообразная суммы равна сумме первообразных.

Правило 2. Постоянный множитель можно выносить за знак первообразной.

Правило 3. Если  - первообразная для функции , то первообразной для

функции  служит функция .

 

Зная формулы для вычисления производных, нетрудно составить таблицу для нахождения

первообразных.

Таблица первообразных

Функция	Первообразная		Функция	Первообразная
А – число	Ах+С
x

 

Пример 1. Проверить, что функция F(x) = х⁵+Зх²-cosx является первообразной функции  

f(x) = 5х⁴+6х+sinx.

Решение: необходимо проверить выполнение формулы F'(x) = f(x).

      

Пример 2. Найти первообразную функции: a) f(x) = 3x²; б) f(x) = 8x⁷.

Решение:

     

     
     

Реши самостоятельно по образцу: №48.5, 48.6, 48.9, 48.10, 48.11

Пример 3. Найдите первообразную функции , график которой проходит через заданную точку

Решение:

1) Найдем общий вид всех первообразных для заданной функции

2) Решим уравнение  (3 и 11 – соответствующие координаты заданной точки).

12-9+C=11

C=8

3) Найденное значение С=8 подставляем в выражение  

Это и будет ответ.

 

Реши самостоятельно по образцу: решить примеры под цифрой II

 

Неопределенный интеграл и его свойства

       Если функция  имеет на промежутке Х первообразную , то выражение , где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции  и обозначается символом .

Читается: «неопределенный интеграл эф от икс дэ икс». Функция  называется подынтегральной функцией. Согласно определению неопределенный интеграл можно записать так: .

Свойства неопределенного интеграла

1.

2.

3.

4. , где а – постоянная

5.

 

Таблица основных интегралов

1.                           2.                  3.

4.                     5.                     6.

7.             8.                9.

10.            11.     12.

13.                                                     14.

Вычисление неопределенного интеграла

Непосредственное интегрирование

       Метод непосредственного интегрирования связан с приведением подынтегрального выражения к табличной форме путем преобразований и применения свойств неопределенного интеграла.

Пример 4. Найдите неопределенный интеграл

Решение:

применяя свойство 4 и формулу 6, получаем

Пример 5. Найдите неопределенный интеграл

Решение:

применяя свойство 4 и формулу 9, получаем

 

Пример 6. Найдите неопределенный интеграл   

Решение:

Пример 7.

 

Значит, чтобы найти неопределенный интеграл от заданной функции, нужно найти одну ее первообразную и прибавить к ней произвольную постоянную С.

Чтобы проверить, правильно ли найден неопределенный интеграл, необходимо продифференцировать (вычислить производную) полученную функцию; если при этом получается подынтегральное выражение, то интеграл найден верно.

Реши самостоятельно по образцу: №997-1002.

Определенный интеграл

Определенный интеграл - .

Читается: «интеграл от a до b эф от икс дэ икс».

 

Числа а и  называются пределами интегрирования (а – нижний предел, - верхний предел).

Пример 8.

Пример 9.

Для вычисления определенного интеграла  находят:

1) Первообразную F(x) для функции f(x)

2) Значение первообразной в точке x= a, т.е. F(a)

3) Значение первообразной в точке x= b, т.е. F(b)

4) Разность F(b)- F(a).

 Процесс вычисления виден из формулы определенного интеграла.

Реши самостоятельно по образцу: №49.1, 49.2

 

Криволинейная трапеция

           

Пусть на отрезке [a, b] дана непрерывная неотрицательная функция y=f(x). Проведем вертикальные прямые х=а, х= b до пересечения с графиком функции f(x).

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке  функции , осью ОХ и прямыми х = а и х = .

           

 

 

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле , где  - первообразная для функции .

Исходя из определения определенного интеграла следует, что площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле