Функцию, восстанавливаемую по заданной ее производной или дифференциалу, называют первообразной.

Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка справедливо равенство F'(x) = f(x).

Из этого определения вытекает, что всякая функция по отношению к своей производной является первообразной.

Примеры:

1) функция является первообразной для функции , т.к.

2) функция является первообразной для функции , т.к.

Как всякое обратное действие, интегрирование вносит некоторое осложнение. Вспомним, как начинается изучение действий над числами. Сначала изучают только целые положительные числа. Наиболее простое действие — сложение — не вносит никаких затруднений. Однако стоит только перейти к обратному действию вычитанию, как встречается первое затруднение: вычесть из меньшего числа большее невозможно. Чтобы преодолеть эту трудность, в алгебре вводят отрицательные числа и вычитание становится возможным. При умножении целых чисел не встречается никаких затруднений; обратное же действие — деление — сразу вносит трудность. Оказывается, что далеко не все числа делятся друг на друга. Деление становится возможным с введением дробных чисел. Еще большие затруднения появляются при извлечении корня — действии, обратном возведению числа в целую положительную степень; здесь уже появляются затруднения в знаках. Так, корень четной степени из положительного числа имеет два знака, а корень четной степени из отрицательного числа не имеет действительного значения. Чтобы стало возможным извлечение корней целой положительной степени из действительных чисел, требуется ввести понятия об иррациональном числе, о мнимой единице, о мнимом числе и т. д. Интегрирование как действие, обратное дифференцированию, также вносит осложнение. Дифференцирование функции — однозначная операция, т. е. если функция имеет производную, то только одну. Обратная операция — отыскание первообразной — не однозначна. Так, функции F₁(x) = x⁴, F₂(x) = x⁴ + 5, F₃(х) = x⁴+C, где С — любое постоянное действительное число, являются первообразными функции f(х) = 4х³, поскольку все эти функции имеют одну и ту же производную.

Если F(x) является первообразной функции f(х) на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид F(x)+С, где С — любое действительное число.

Таким образом, любые две первообразные данной функции отличаются друг от друга на постоянное слагаемое, а выражение F(x)+C исчерпывает множество всех первообразных заданной функции f(x). Итак, задача нахождения первообразной неоднозначна. Она имеет бесконечное множество решений. Геометрически выражение F(x)+C представляет собой семейство кривых, получаемых из любой из них параллельным переносом вдоль оси Оу.