Угол между двумя прямыми, условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

Если уравнения прямой заданы в общем виде A ₁ x + B ₁ y + C ₁ = 0 и A ₂ x + B ₂ y + C ₂ = 0,

угол между ними определяется по формуле

  

4. Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов: k ₁ = k ₂.

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

Это условие может быть записано также в виде k ₁ k ₂ = -1.

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства A ₁ A ₂ + B ₁ B ₂ = 0.

6. Координаты точки пересечения двух прямых находят, решая систему уравнений. Прямые (6) пересекаются в том и только в том случае, когда

 

 

23) Нормированное уравнение прямой, отклонение точки от прямой.

Нормальное уравнение прямой:

Здесь p - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, измеренная в единицах масштаба, а - угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ox. Отсчитывается этот угол от оси Ox против часовой стрелки.

Для приведения общего уравнения прямой (2) к нормальному виду обе его части надо умножить на нормирующий множитель:

Итак, покажем приведение общего уравнения прямой Ах + Ву + С = 0 к нормальному уравнению прямой. Чтобы привести общее уравнение прямой к нормальному виду нужно обе части равенства Ах + Ву + С = 0 умножить на так называемый нормирующий множитель, который равен . Знак нормирующего множителя берется противоположным знаку слагаемого С. Если C = 0, то знак нормирующего множителя не имеет значения и может быть выбран произвольно.

Общее уравнение прямой в декартовых координатах имеет вид Ax+By+C=0, где A, B и C - известные числа. Пусть точка O имеет координаты (x1, y1) в декартовой системе координат.В этом случае отклонение этой точки от прямой равно?=(Ax1+By1+C)/sqrt((A^2)+(B^2)), если C<0, и?=(Ax1+By1+C)/(-sqrt((A^2)+(B^2))), если C>0.Расстояние от точки до прямой - это модуль отклонения точки от прямой, то есть r=|(Ax1+By1+C)/sqrt((A^2)+(B^2))|, если C<0, и?=|(Ax1+By1+C)/(-sqrt((A^2)+(B^2)))|, если C>0.

Пусть теперь точка с координатами (x1, y1, z1) задана в трехмерном пространстве. Прямая может быть задана параметрически, системой из трех уравнений: x = x0+ta, y = y0+tb, z = z0+tc, где t - действительное число. Расстояние от точки до прямой можно найти как минимальное от этой точки до произвольной точки прямой. Коэффициент t этой точки равен tmin=(a(x1-x0)+b(y1-y0)+c(z1-z0))/((a^2)+(b^2)+(c^2))

Расстояние от точки (x1, y1) до прямой можно посчитать и в случае, если прямая задана уравнением с угловым коэффициентом: y = kx+b. Тогда уравнение перпендикулярной ей прямой будет иметь вид: y = (-1/k)x+a. Далее нужно учесть, что эта прямая должна проходить через точку (x1, y1). Отсюда находится число a. После преобразований находится и расстояние между точкой и прямой.