Метод последовательного исключения неизвестных ( Метод Гауса )

(Долго писать)

11) Понятие вектора. Действия с векторами:

Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец.

Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или .

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .

2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.

При сложении векторов и получаем:

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и — это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

12) Линейная зависимость векторов (линейные комбинации двух и трех векторов).

Линейной комбинацией векторов называется сумма произведений этих векторов на произвольные вещественные числа, то есть выражения вида

,

где — любые вещественные числа.

Определение 2. Векторы называются линейно зависимыми²⁾, если найдутся такие вещественные числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов с этими числами обращается в нуль³⁾, то есть имеет место равенство:

.\

Два вектора a1 и a2 называются коллинеарными если их направления совпадают или противоположны.

Три вектора a1,a2 и a3 называются компланарными если они параллельны некоторой плоскости.

Система из трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

Совокупность любых трех линейно независимых векторов трехмерном пространстве называется базисом в пространстве.

13) Линейная зависимость векторов (линейные комбинации четырех векторов).

Четыре вектора всегда образуют линейно зависимую систему.

Доказательство. Если первые три вектора являются компланарными, то они образуют линейно зависимую подсистему Следовательно, вся система линейно зависима (Если первые три вектора -- некомпланарные, то четвертый является их линейной комбинацией.По система является линейно зависимой. На основании сказанного дадим другое определение базиса Определение Базисом векторного пространства называется такая упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства раскладывается по векторам этой системы.