Алгебраические дополнения и миноры.

Алгебраические дополнения и миноры.

(знаю)

Обратная матрица.

Обратная матрица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Найдем определитель главной матрицы. Найдем матрицу алгебраических дополнений.

Вспоминаем нашу формулу и решим

Ранг матрицы.

Находим миноры первого порядка, если в матрице есть ненулевые элементы, то её ранг не меньше единицы. Дальше находим минор 3 порядка, 4 и 5. Таким образом, ранг матрицы равен максимальному порядку ненулевого минора.

Решение систем уравнений третьего порядка. Правило Крамера.

Система линейных уравнений с вещественными коэффициентами:

Определители:

 

В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной заменяется столбцом свободных членов системы.

Решение:

 

Теорема Крамера.

Доказательство. Пусть A - основная матрица системы (4.4), ∆ - ее определитель (главный определитель системы), X - столбец из ее неизвестных и B – столбец свободных членов системы. Тогда уравнение AX = B представляет собой матричную запись системы. Так как по условию теоремы A - невырожденная матрица, то она имеет обратную Умножим обе части равенства

Если в системе линейных уравнений с неизвестными , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами

Доказательство. По теореме обратная матрица находится по формуле

где -- алгебраические дополнения. Тогда из (15.3) следует, что

Заметим, что по формуле (14.13) разложение определителя по первому столбцу в точности совпадает с первым элементом матрицы-столбца в правой части последнего равенства, разложение определителя по второму столбцу дает второй элемент матрицы-столбца и т.д. Поэтому , откуда и следует утверждение теоремы.

 

Неоднородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными с определителем, равным нулю.

Такая система не имеет решений!

Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна, то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное решение . Так как каждый из определителей имеет столбец, все члены которого равны нулю.

 

Векторное произведение двух векторов: выражение векторного произведения в декартовой системе координат.

 

Смешанное произведение векторов и его свойства.

 

          

Смешанное произведение в декартовой системе координат.

Эллипс и его свойства.

Эллипс - геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек и = 2c (называемыхфокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

причем

F1F2=2c

По определению эллипса . Преобразуем это уравнение:

Разделим обе части этого уравнения на  получим:

=>  =>  - Каноническое уравнение

  e= называется эксцентриситетом.

коэффициент сжатия эллипса

X= или  - Директриса

F1F2=2c – расстояние между фокусами.

D= a - ex

D1=a + ex – фокальные радиусы

 

Гипербола и ее свойства.

Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Свойство 1

Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Свойство 2

Гипербола имеет центр симметрии..

Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы.

Прямые с уравнениями и называются асимптотами гиперболы.

.

.

F1F2=2c – расстояние между фокусами.

. Фокальный параметр.

X= - Директриса

 

 

Парабола и ее свойства.

Парабола — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

(или , если поменять местами оси).

Уравнение директрисы : , фокус — , таким образом начало координат — середина отрезка . По определению параболы для любой точки , лежащей на ней выполняется равенство . и , тогда равенство приобретает вид:

.

После возведения в квадрат и некоторых преобразований получается равносильное уравнение .

 

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы

Директриса и фокус имеют координаты (-p/2 и p/2).

Эллипс симметричен относительно осей координат

Эллипс имеет точки пересечения с осями координат:.

Эллипс содержится в прямоугольнике:.

D1=D2=x+p/2

 

Алгебраические дополнения и миноры.

(знаю)

Обратная матрица.

Обратная матрица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Найдем определитель главной матрицы. Найдем матрицу алгебраических дополнений.

Вспоминаем нашу формулу и решим

Ранг матрицы.

Находим миноры первого порядка, если в матрице есть ненулевые элементы, то её ранг не меньше единицы. Дальше находим минор 3 порядка, 4 и 5. Таким образом, ранг матрицы равен максимальному порядку ненулевого минора.