Нестационарный режим движения жидкости

Рассмотрим задачу моделирования на примере простой гидравлической системы, рассмотренной выше (рис. 2.1.1).

При построении динамических моделей конечные балансовые уравнения 6 и 7 в системе уравнений математического описания (9) превращаются в обыкновенные дифференциальные уравнения вида:

;                                                                         (15)

,                                                                        (16)

где  – объемы жидкости в верхней и нижней емкостях гидравлической системы, представленной на рис. 2.1.1.

Если эти емкости являются цилиндрическими, то объем жидкости в них определяется по формуле

V^R = S × H                                                                                   (17)

(S – площадь поперечного сечения цилиндра), и вышеприведенные обыкновенные дифференциальные уравнения (15) и (16) принимают следующий вид (в нумерации системы (9) – это будут уравнения 6 и 7):

6  ;                                                             (18)

7  .                                                             (19)

Для решения системы дифференциальных уравнений на компьютере, т. е. получения соответствующего частного решения, необходимо задать начальные условия вида в принятой выше нумерации системы (9) – это будут уравнения  и ):

;                                                    (18 ')

.                                                        (19 ')

При этом решается задача Коши, или задача с начальными условиями, и получаемые частные решения представляют собой функции H ₁(t) и H ₂(t), рассматриваемые в замкнутом интервале [ t ⁽⁰⁾, t ^(k)], которые являются приближениями истинных функций решения .

Более общее представление систем двух дифференциальных уравнений (18) и (19) имеет вид:

;                                                                       (20)

,                                                                        (21)

где  и – правые части дифференциальных уравнений первого порядка, записанные в явном виде.

В итоге, математическое описание динамики простой гидравлической системы (см. рис. 2.1.1) представляет собой ту же самую систему уравнений (9), в которой балансовые уравнения 6 и 7 заменены на дифференциальные уравнения (18) и (19); в систему также включены два начальных условия (18 ') и (19 ') для получения частного решения на компьютере (общее решение обыкновенных дифференциальных уравнений, как правило, получают аналитическими методами). Таким образом, необходимо решить систему уравнений (9), из которых два являются дифференциальными – (18) и (19) – с начальными условиями (18 ') и (19 ').

Для решения дифференциальных уравнений (18) и (19) целесообразно представить их в конечно-разностной форме в следующем виде в нумерации системы (9) – это будут уравнения  и :

   ;                   (18*)

   .                   (19*)

Если интервал интегрирования равен [ t ⁽⁰⁾, t ^{( k )}], то правые части дифференциальных уравнений  и , а также, соответственно, (18*) и (19*), вычисляются при t ⁽⁰⁾, t ⁽¹⁾, …, t ^{( k – 1)}. В результате конечно-разностных преобразований  и  система уравнений (9) математического описания нестационарного режима гидравлической системы (рис. 2.1.1), представленная в конечно-разностной форме имеет вид:

1   = k ₁ (P ₁ – P ₅)^1/2;

2  = k ₂ (P ₂ – P ₆)^1/2;

3  = k ₃ (P ₅ – P ₃)^1/2;

4   = k ₄ (P ₆ – P ₄)^1/2;

5   = k ₅ (P ₅ – P ₆)^1/2;

;

;                                                                    (22)

;

;

8   P ₅ = P ₇ + r gH ₁;

9   ;

10 P ₆ = P ₈ + r gH ₂;

11 .

Так как при решении системы двух дифференциальных уравнений –(18) и (19) – необходимо определить функции H ₁(t) и H ₂(t) [ t ⁽⁰⁾, t ^{( k )}], т. е. и  и  при заданных начальных условиях и  (18 ') и (19 '), то конечным результатом расчетов должны быть указанные функции, представленные в дискретном виде, при t = t ⁽⁰⁾, t ⁽¹⁾, …, t ^{( k – 1)}, t ^{( k )}. Последними значениями искомых функций являются определяемые на 12 и 13 шаге вычислений и .