Математическое описание процесса

Система независимых уравнений (9), приводимая ниже и описывающая поведение простой гидравлической системы в стационарном состоянии, состоит из следующих уравнений:

а) определение скорости потоков жидкости через клапаны (3) – при программировании используется строгое уравнение (4):

1  = k ₁ (P ₁ – P ₅)^1/2;

2 = k ₂ (P ₂ – P ₆)^1/2;

3 = k ₃ (P ₅ – P ₃)^1/2 ;

4 = k ₄ (P ₆ – P ₄)^1/2;

5 = k ₅ (P ₅ – P ₆)^1/2.

б) расчета балансов (1) и (2):

6 ;                                                                    (9)

7 .

с) Определение давлений жидкости (6) и газа (8) в закрытых емкостях:

8 P ₅ = P ₇ + r gH ₁ ;

9 ;

10 P ₆ = P ₈ + r gH ₂ ;

11 .

Так как система конечных уравнений (9) включает 11 независимых уравнений(в дальнейшем используется последовательная нумерация уравнений от 1 до 11), она может быть решена, в принципе, относительно любых 11 переменных, которые называются определяемыми переменными. Все остальные переменные системы (9), соответствующие числу степеней свободы, должны задаваться.

Кроме этого, должны быть специфицированы коэффициенты (например, коэффициенты пропускной способности клапанов – вектор ), а также постоянные в системе уравнений (9) – геометрические высоты емкостей , , давление в незаполненной жидкостью емкости P_N и плотность жидкости r.

Исходя из физических соображений, при гидравлическом расчете систем трубопроводов, представляющем собой решение системы 11 уравнений (9), определяемыми переменными выбираются:

· расходы жидкости на всех участках : 5 определяемых переменных;

· промежуточные давления в системе Р ₅, Р ₆, Р ₇, Р ₈ : 4 определяемых переменных;

· уровни жидкости в двух ёмкостях : 2 определяемые переменные.

Всего: 11 определяемых переменных.

Давления на входе в систему P ₁ и Р ₂, а также давления на выходе из системы Р ₃ и Р ₄ задаются, и их число (в данном случае – 4) соответствует числу степеней свободы системы уравнений (9), которое определяется как разность между числом переменных и числом независимых уравнений. В рассматриваемом примере: 15 – 11 = 4. Эти четыре переменные могут задаваться независимо в соответствии с физическим смыслом решаемой задачи. Это означает, что если предполагается движение жидкости в соответствии со стрелками, изображенными на рис. 2.1.1, давления на входе в систему Р ₁ и Р ₂ должны быть больше давлений на выходе Р ₃ и Р ₄.

Система 11 конечных уравнений (9), решаемая относительно следующих 11 определяемых переменных:

v₁, v₂, v₃, v₄, v₅, P₅, P₆, P₇, P₈, H₁, H₂                                                   (10)

является системой нелинейных уравнений.

Для ее решения наиболее целесообразно использовать декомпозиционный метод, который позволяет существенно снизить размерность решаемой задачи и определять все искомые переменные путем решения системы (или систем) уравнений значительно меньшей размерности, чем размерность исходной системы.

Размерность исходной системы уравнений (9) равна 11.

Каждое уравнение системы (9) содержит несколько определяемых переменных: как минимум две. Начальные приближения для итерационных расчетов при решении нелинейных уравнений следует задавать в тех уравнениях, которые содержат наименьшее число определяемых переменных (в данном случае две) и могут быть хорошо обоснованы из физических соображений. Например, значение приближения Н ₁ может быть задано в интервале [0, ], так как высота емкости  задана в условии задачи.

Первым шагом вычислительной процедуры будет определение переменной Р ₇ в уравнении 9. Заданное значение приближения  и найденная переменная Р ₇ справедливы для всей системы уравнений и поэтому эти величины должны использоваться и другими уравнениями системы. В уравнении 8 теперь известны Н ₁ и Р ₇, что позволяет решить это уравнение относительно Р ₅ на шаге 2 вычислительной процедуры. Дальнейшие последовательные шаги расчетов дают возможность определить только приближенные значения v ₁, v ₃, v ₅, P ₆, v ₂, v ₄, что связано с выбором в самом начале реализуемой процедуры вычисления приближения величины .

Таким образом, определение корректного значения Н ₁ приведет соответственно к получению корректных значений и Р ₇, Р ₅, v ₁, v ₃, v ₅, P ₆, v ₂, v ₄, т. е. 9 из 11 искомых переменных.

Для коррекции Н ₁ должно использоваться уравнение 7, в котором все переменные известны из предыдущих расчетов – шаг 9. Когда система уравнений математического описания решена, то уравнение 7 вида:

v ₂{ H ₁} + v ₅{ H ₁} – v ₄{ H ₁} = 0                                                     (11)

должно превратиться в равенство. Переменная Н ₁ в фигурных скобах в этом случае означает, что каждое слагаемое этого уравнения зависит от переменной Н ₁, и оно должно быть решено относительно Н ₁ для получения ее корректного значения.

Реализацию алгоритма решения уравнения 7 можно рассматривать как процедуру коррекции переменной Н ₁ и, соответственно, определение значений переменных Р ₇, P ₅, v ₁, v ₃, v ₅, P ₆, v ₂ и v ₄.

Наиболее эффективным алгоритмом для коррекции переменной Н ₁ и решения уравнения 7 является метод половинного деления, с нижней границей интервала поиска – 0 и верхней границей , так как только в этом случае знаменатель уравнения 9 системы уравнений математического описания (9) не станет равным нулю при подстановке в него верхней границы .

При решении уравнения 7 в итерационном цикле на шаге 6 необходимо определить Р ₆ из уравнения 5. Так как на предыдущих этапах расчетов v ₅ может получиться как положительным, так и отрицательным, выражение для определения Р ₆ должно учитывать это обстоятельство – используется функция знака sgn(x) (5) для решения уравнения 5:

.                                                                   (12)

Для определения двух оставшихся переменных Р ₈ и Н ₂ в уравнение 10 подставляется Р ₈ из уравнения 11 системы уравнений математического описания (9). В результате получается квадратное уравнение относительно Н ₂ (Р ₆ известно из предыдущих расчетов):

.                                                             (13)

Наконец, для определения значения Н ₂ используется алгоритм вычисления корней квадратного уравнения и выбирается тот из корней, который располагается в интервале [0, .