Метод взвешенного подвижного (скользящего) среднего (weighted moving average).

 

При составлении прогноза методом усреднения часто приходится наблюдать, что влияние используемых при расчете реальных показателей оказывается неодинаковым, при этом обычно более свежие данные имеют больший вес.

Математически метод взвешенного подвижного среднего можно описать формулой:

 

где x_k-i — реальное значение показателя в момент времени t_k-i, N — число предшествующих моментов времени, используемых при расчете; f_k — прогноз на момент времени t_k.

ω_k-i — вес, с которым используется показатель x_k-i при расчете.

 

ЗАМЕЧАНИЕ. Вес — это всегда положительное число. В случае, когда все веса одинаковы, мы получаем формулу (1).

Для расчетов обратимся к исходному временному ряду, считая, что при составлении прогноза на завтрашний день объем сегодняшних продаж мы возьмем с весом 60, вчерашних — с весом 30, а позавчерашних - с весом 10: ω3 = 60, ω2 = 30, ω1 = 10.

Мы имеем:

 

 

 

 

 

 

На рисунке 13 дается графическое представление проведенных расчетов: сплошными линиями соединены реальные значения, а пунктирными — прогнозируемые.

 

 

 

10 -

-

8 -

-

6 -

-

4 -

-

2 -

-

 

1 2 3 4 5 6 7 8

 

Рис. 13. Сравнение реальных и прогнозируемых показателей.

 

Для стационарных рядов существует система весовых множителей, позволяющая обеспечить минимальную ошибку прогноза. Эти множители определяются видом автоковариационной функции. Известен метод вычисления таких оптимальных весовых функций для постоянного уровня, тренда и сезонных коэффициентов. В каждом из этих случаев весовые множители экспоненциально уменьшаются по закону α^j, а различные значения α, получаемые для уровня, тренда и сезонных коэффициентов, определяются систематическими исследованиями точности прогнозов, получаемых при различных комбинациях весовых функций.

Во многих случаях целесообразно использовать последовательность ω_j = α^j, 0 < α <1, придающую более высокий вес более поздней информации и позволяющую относительно просто оценивать значения коэффициентов даже достаточно сложных моделей, таких, в которых для описания сезонных циклов используются полиномы в сочетании с преобразованиями Фурье (подобное представление можно рассматривать как сложные полиномы).

 

Для модели экспоненциально взвешенного скользящего среднего предложены способы, с помощью которых в те периоды времени, когда средняя ошибка прогноза близка к нулю (благодаря правильности модели и ее коэффициентов), скорость затухания α может быть увеличена; а в те периоды времени, когда средняя ошибка прогноза существенно отличается от нуля и существует опасность того, что модель может «забыть» старую информацию (в этом случае требуется уточнение прогноза), скорость затухания α может быть уменьшена.

 

Уточнение прогноза производится по принципу обратной связи — новые прогнозы корректируются на основе учета ошибок в предшествующих прогнозах. Если при выборе весовых множителей в процессе составления прогноза также используется обратная связь, то не только строгий анализ областей устойчивости данной системы, но и любой анализ вообще становится фактически невозможным. Для анализа эффективности какого-либо метода недостаточно привести примеры, подтверждающие его полезность. Необходимо также выявить области (если они существуют), в которых применение рассматриваемого метода невозможно или неэффективно.