Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору ⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7
Найдем уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости вектор ортогонален (перпендикулярен) вектору , следовательно, их скалярное произведение равно нулю:
или . Общее уравнение плоскости После преобразования, уравнение
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки Пусть плоскость проходит через точки и , не лежащие на одной прямой и – произвольная точка плоскости. Тогда векторы , , компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю. Используя координатную запись смешанного произведения, получаем: .
Это уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на искомой плоскости, является уравнением плоскости, проходящей через три данные точки.
Нормальное уравнение плоскости Положение плоскости вполне определяется заданием единичного вектора , имеющего направление перпендикуляра , опущенного на плоскость из начала координат, и длиной p этого перпендикуляра Пусть , а – углы, образованные единичным вектором с осями и ; Возьмем на плоскости произвольную точку и соединим ее с началом координат. Образуем вектор . При любом положении точки Μ на плоскости проекция радиус-вектора на направление вектора всегда равно : , т.е. или – нормальное уравнение плоскости в векторной форме. Записав его в координатах получим нормальное уравнение плоскости в координатной форме:
.
Общее уравнение плоскости можно привести к нормальному уравнению так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. А именно: умножить обе части общего уравнения на нормирующий множитель
где знак берется противоположным знаку свободного члена общего уравнения плоскости. Угол между плоскостями. Пусть плоскости и заданы соответственно уравнениями и . Требуется найти угол между этими плоскостями.
Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла (рис. 11.6): два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из плоскостей проведем перпендикуляры и к линии пересечения. Нарисуем также нормальные векторы и плоскостей и с началами в точке (рис. 11.6).
Рис.11.6.Угол между плоскостями
Если через точку провести плоскость , перпендикулярную линии пересечения плоскостей и , то прямые и и изображения векторов и будут лежать в этой плоскости. Сделаем чертеж в плоскости (возможны два варианта: рис. 11.7 и 11.8).
Рис.11.7.Угол между нормальными векторами острый
Рис.11.8.Угол между нормальными векторами тупой
В одном варианте (рис. 11.7) и , следовательно, угол между нормальными векторами равен углу , являющемуся линейным углом острого двугранного угла между плоскостями и . Во втором варианте (рис. 11.8) , а угол между нормальными векторами равен . Так как то в обоих случаях . По определению скалярного произведения . Откуда и соответственно
Так как координаты нормальных векторов известны, если заданы уравнения плоскостей, то полученная формула (11.4) позволяет найти косинус острого угла между плоскостями. Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормальные векторы. Получаем условие перпендикулярности плоскостей:
Если плоскости параллельны, то коллинеарны их нормальные векторы. Получаем условие параллельности плоскостей
|