Декартовы прямоугольные системы координат

Для задания декартовой прямоугольной системы координат нужно выбрать несколько взаимноперпендикулярных прямых, называемых осями. Точка пересечения осей O называется началом координат.

На каждой оси нужно задать положительное направление и выбрать единицу масштаба. Координаты точки P считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки P.

Рис. 2: Декартова плоскость

Декартовыми прямоугольными координатами точки P на плоскости называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых - осей координат или, что то же, проекции радиус-вектора r точки P на две взаимно перпендикулярные координатные оси.

Когда говорят про двухмерную систему коодинат, горизонтальную ось называют осью абсцисс (осью Ox), вертикальную ось - осью ординат (осью Оy). Положительные направления выбирают на оси Ox - вправо, на оси Oy - вверх. Координаты x и y называются соответственно абсциссой и ординатой точки.

Запись P(a,b) означает, что точка P на плоскости имеет абсциссу a и ординату b.

Декартовыми прямоугольными координатами точки P в трехмерном пространстве называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей или, что то же, проекции радиус-вектора r точки P на три взаимно перпендикулярные координатные оси.

В зависимости от взаимного расположения положительных направлений координатных осей возможны левая и правая координатные системы.

Рис. 3а: Левые координатные системы	Рис. 3б: Правые координатные системы

Как правило, пользуются правой координатной системой. Положительные направления выбирают: на оси Ox - на наблюдателя; на оси Oy - вправо; на оси Oz - вверх. Координаты x, y, z называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой.

Координатными поверхностями, для которых одна из координат остается постоянной, здесь являются плоскости, параллельные координатным плоскостям, а координатными линиями, вдоль которых меняется только одна координата, - прямые, параллельные координатным осям. Координатные поверхности пересекаются по координатным линиям.

Запись P(a,b,c) означает, что точка Q имеет абсциссу a, ординату b и аппликату c.

Полярные системы координат

Рис. 4: Полярные системы координат

Полярными координатами точки P называются радиус-вектор ρ - расстояние от точки P до заданной точки O (полюса) и полярный угол φ - угол между прямой OP и заданной прямой, проходящей через полюс (полярной осью). Полярный угол считается положительным при отсчете от полярной оси против часовой стрелки и отрицательным при отсчете в обратную сторону.

Координатные линии в полярных системах - окружности с центром в полюсе и лучи.

Формулы для перехода от полярных координат к декартовым

x=ρ*cos(φ), y=ρ*sin(φ)

и обратно:

ρ=sqrt(x²)+y²), φ=arctg(y/x)=arcsin(y/ρ)

Цилиндрические системы координат

Рис. 5: Цилиндрические системы координат

ρ и φ - полярные координаты проекции точки P на основную плоскость (обычно xOy), z - аппликата - расстояние от точки P до основной плоскости.

Для цилиндрических координат координатными поверхностями являются плоскости, перпендикулярные к оси Oz (z=const), полуплоскости, ограниченные осью z (φ=const) и цилиндрические поверхности, осью которых является ось z (ρ=const). Координатные линии - линии пересечения этих поверхностей.

Формулы для перехода от цилиндрических координат к декартовым

x=ρ*cos(φ), y=ρ*sin(φ), z=z

и обратно:

ρ=sqrt(x²+y²), φ=arctg(y/x)=arcsin(y/ρ)

Сферические системы координат

Рис. 6: Сферические системы координат

r - длина радиус-вектора, φ - долгота, θ - полярное расстояние. Положительные направления отсчета показаны на рисунке 6. Если давать сферическим координатам значения в следующих пределах:

0 ≤ r < ∞, -π < φ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ π,

то получаются однозначно все точки пространства.

Координатные поверхности: сферы с центром в начале (r=const), полуплоскости, ограниченные осью z (φ=const), конусы (с вершиной в начале), для которых ось z является осью (θ=const). Координатные линии - линии пересечения этих поверхностей.

Формулы перехода от сферических координат к декартовым

x=r*sin(θ)*cos(φ), y=r*sin(θ)*sin(φ), z=r*cos(φ)

и обратно

r=sqrt(x²+y²+z²), φ=arctg(y/x), φ=arctg(sqrt((x²+y²)/z))