Изучение принципов работы с системами счисления

Системы счисления

Система счисления – символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков. Системы счисления подразделяются на позиционные, непозиционные и смешанные.

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен.

Каждая позиционная система счисления определяется некоторым целым числом  (т. н. основание системы счисления) таким, что b единиц в каждом разряде объединяется в одну единицу следующего по старшинству разряда.

Целое число x в показательной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа b:

 

,

(1.1)

 

где  – это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству ;

  – основание системы счисления;

   – число разрядов.

Каждая степень b^k в такой записи называется разрядом, старшинство разрядов и соответствующих им цифр определяется значением показателя k.

Перевод произвольной позиционной системы счисления в десятичную

Если число в b-ричной системе счисления равно , то для перевода в десятичную систему вычисляется сумма:

 

,

(1.2)

где  – основание системы счисления, из которой осуществляется перевод.

Перевод из десятичной в произвольную позиционную систему счисления

Для перевода необходимо делить число с остатком на основание системы счисления до тех пор, пока частное больше основания.

Перевод из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления

Для этого типа операций существует упрощенный алгоритм.

Для восьмеричной – разбиваем число на триплеты, начиная с младшего разряда, преобразуем триплеты по таблице 1.1.

 

Таблица 1.1 – Перевод числа из двоичной в восьмеричную систему счисления

Число в двоичной системе счисления	Число в восьмеричной системе счисления
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

 

Для шестнадцатеричной – разбиваем на квартеты, начиная с младшего разряда, преобразуем по таблице 1.2.

 

Таблица 1.2 – Перевод числа из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления

Число в двоичной системе счисления	Число в шестнадцатеричной системе счисления
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

 

Перевод дробных чисел из произвольной системы счисления в десятичную

Если число в b-ричной системе счисления записано в виде , то для перевода в десятичную систему вычисляется сумма:

 

.

(1.3)

 

Перевод дробных чисел из десятичной системы счисления в произвольную

Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в нуль и начать умножение получившегося числа на основание той системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в нуль, предварительно запомнив значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль.

В общем случае очень редко удаётся завершить перевод дробной части числа из десятичной системы в другие системы счисления, а потому, в подавляющем большинстве случаев, перевод можно осуществить с какой либо долей погрешности. Чем больше знаков после запятой – тем точнее приближение результата перевода к истине.

Операции с числами в произвольных системах счисления

Сложение и вычитание

Как в десятичной, так и в любой другой системе при сложении складываются сначала единицы, затем переходят к следующему разряду и т.д. до тех пор, пока не доходят до самого старшего из имеющихся разрядов. При этом необходимо помнить, что всякий раз, когда при сложении в предыдущем разряде получается сумма больше, чем основание системы счисления, или равная ему, надо сделать перенос в следующий разряд.

Вычитание выполняется аналогичным образом. При заеме из старшего разряда, величина заема равна основанию системы счисления.

Умножение

Для умножения чисел в различных системах счисления удобно пользоваться таблицами умножения. В каждой клетке такой таблицы стоит произведение чисел, представляющих собой номера строки и столбца, на пересечении которых стоит клетка.

 

Таблица 1.3 – Таблица умножения для двоичных чисел

	0	1
0	0	0
1	0	1

 

Таблица 1.4 – Таблица умножения шестнадцатеричных чисел

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
2	0	2	4	6	8	A	C	E	10	12	14	16	18	1A	1C	1E
3	0	3	6	9	C	F	12	15	18	1B	1E	21	24	27	2A	2D
4	0	4	8	C	10	14	18	1C	20	24	28	2C	30	34	38	3C
5	0	5	A	F	14	19	1E	23	28	2D	32	37	3C	41	46	4B
6	0	6	C	12	18	1E	24	2A	30	36	3C	42	48	4E	54	5A
7	0	7	E	15	1C	23	2A	31	38	3F	46	4D	54	5B	62	69
8	0	8	10	18	20	28	30	38	40	48	50	58	60	68	70	78
9	0	9	12	1B	24	2D	36	3F	48	51	5A	63	6C	75	7E	87
A	0	A	14	1E	28	32	3C	46	50	5A	64	6E	78	82	8C	96
B	0	B	16	21	2C	37	42	4D	58	63	6E	79	84	8F	9A	100
C	0	C	18	24	30	3C	48	54	60	6C	78	84	90	9C	108	114
D	0	D	1A	27	34	41	4E	5B	68	75	82	8F	9C	109	116	123
E	0	E	1C	2A	38	46	54	62	70	7E	8C	9A	108	116	124	132
F	0	F	1E	2D	3C	4B	5A	69	78	87	96	100	114	123	132	141

 

Пользуясь такими таблицами, легко перемножить «столбиком» числа, содержащие любое количество разрядов.

 

Задания для практической работы

 

1 Перевести заданные числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную.

2 Перевести заданные числа из двоичной системы в восьмеричную, десятичную и шестнадцатеричную.

3 Перевести заданные числа из шестнадцатеричной системы в двоичную и десятичную.

4 Выполнить заданные действия сложения, вычитания и умножения с числами.

 

Контрольные вопросы

 

1 Что такое система счисления? Что она позволяет?

2 Что такое позиционная система счисления?

3 Что называется цифрами и основанием системы счисления?

4 Как упрощенно осуществляется перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную?