Моделювання сезонних коливань за допомогою рядів Фур’є

 

Для більшої наочності побудуємо графік виробництва.

 

Рисунок 3.2.1. Графік випущеної продукції (тис. тонн)

 

Циклічні коливання стаціонарного ряду можуть бути регулярними та нерегулярними. Крім того, серед регулярних циклів виділяють сезонні, які утворюються у зв’язку з природно-кліматичними умовами. Під ними розуміють періодичні коливання спостережень у досліджуваному часовому ряді, що повторюються в деякий визначений час кожного року.

За допомогою ряду Фур’є динаміка явища описується функцією часу, в якій доданки розташовані по зменшенню їх періодів:

 

 (3.2.1)

 

Величина k визначає гармоніку ряду Фур'є і береться як ціле число, починаючи з 1. Часто для апроксимації часового ряду достатньо розглянути 4 гармоніки. Параметри рівняння розраховуються методом найменших квадратів:

 (3.2.2)

 

-   тобто проста середня арифметична ряду

 

 

 (3.2.3)

 

або в загальному виді:

 

 (3.2.4)

 

Першому спостереженню (t) часто присвоюється значення 1 або 0. До кожного наступного додається величина , де n - довжина ряду.

Ряд Фур'є з однією гармонікою записується як:

 

 

Ряд Фур'є з двома гармоніками записується як:

 

 

Ряд Фур'є з трьома гармоніками записується як:

 

і так далі.

Для прогнозу рівнів ряду в рівняння з обраним числом гармонік підставляється значення часу (t) необхідного порядку.

Для побудови моделі використаємо варіант з п’ятьма гармоніками, так як він є більш точним в даному випадку.

Проміжні розрахунки за рядом Фур’є наведено в додатку 1.

Тренд будується за формулою:

 

 (3.2.5)

 

де а, b - оцінки параметрів, a=0.042, b=17.58- момент часу.

Для знаходження нових розрахункових значень Y необхідно визначити параметри рівняння за формулою (3.2.4).

 

Параметри рівняння:

а0=	0
а1=	-2,067
b1=	-3,094
a2=	-0,048
b2=	-1,591
a3=	1,47
b3=	-0,569
a4=	0,465
b4=	-0,275
a5=	0,065
b5=	1,123

 

Нові розрахункові значення Y, які були отримані за допомогою формули (3.2.1) занесемо в таблицю 3.2.1:

Таблиця 3.2.1. Нові розрахункові значення

t	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5
1	14,922	13,495	11,959	11,863	10,803
2	15,687	15,585	15,942	16,450	17,559
3	16,983	18,308	19,844	19,431	18,571
4	18,474	19,901	19,544	19,448	19,830
5	19,772	19,874	18,338	18,847	19,046
6	20,541	19,216	19,573	19,160	18,433
7	20,586	19,159	20,696	20,599	21,659
8	19,906	19,804	19,448	19,957	18,848
9	18,695	20,020	18,483	18,071	18,931
10	17,289	18,715	19,072	18,975	18,594
11	16,075	16,177	17,713	18,222	18,023
12	15,392	14,067	13,710	13,297	14,024
13	15,432	14,005	12,469	12,373	11,314
14	16,197	16,095	16,452	16,961	18,069
15	17,493	18,818	20,354	19,942	19,082
16	18,984	20,411	20,055	19,959	20,340
17	20,283	20,384	18,848	19,357	19,556
18	21,051	19,726	20,083	19,670	18,943
19	21,096	19,669	21,206	21,110	22,169
20	20,416	20,314	19,958	20,467	19,359
21	19,205	20,530	18,994	18,581	19,441
22	17,799	19,225	19,582	19,486	19,104
23	16,586	16,687	18,224	18,732	18,533
24	15,902	14,577	14,220	13,808	14,534
25	15,942	14,516	12,979	12,883	11,824
26	16,707	16,606	16,962	17,471	18,579
27	18,003	19,328	20,865	20,452	19,592
28	19,495	20,921	20,565	20,469	20,850
29	20,793	20,894	19,358	19,867	20,066
30	21,562	20,237	20,593	20,180	19,454
31	21,606	20,180	21,716	21,620	22,679
32	20,926	20,825	20,468	20,977	19,869
33	19,715	21,040	19,504	19,091	19,951
34	18,309	19,736	20,092	19,996	19,614
35	17,096	17,197	18,734	19,243	19,044
36	16,412	15,087	14,731	14,318	15,044

Перевіримо адекватність отриманої моделі. В якості критеріїв оберемо наступні:

·   Критерій піків.

·   Критерій Ст’юдента.

·   Критерій Дарбіна-Уотсона.

В критерії піків рівень послідовності  вважається максимумом, якщо він більший двох сусідніх рівнів, тобто , і мінімумом, якщо він менший обох сусідніх рівнів, тобто . При випадковому розподіленні  число локальних екстремумів в середньому дорівнює:

 

 (3.2.6)

 

при середньоквадратичному відхиленні:

 

 (3.2.7)

 

Критерієм випадковості з 5%-вим рівнем значущості, тобто з довірчою ймовірністю 95%, є виконання нерівності

 

 (3.2.8)

 

де квадратні дужки означають цілу частину числа. Якщо ця нерівність не виконується, трендова модель вважається неадекватною.

 

a1=	2,73
a0=	14,46

 

 

	Y	Y розр	e	Критерій піків
1	13,58	9,78	3,79
2	15,1	16,35	-1,25	1
3	19,7	17,49	2,20	1
4	19,5	19,17	0,32	1
5	18,3	18,98	-0,69
6	17,6	18,9	-1,39	1
7	24,2	22,67	1,52	1
8	21	20,05	0,94
9	18,5	20	-1,50	1
10	18,5	19,24	-0,75
11	14,7	18,08	-3,38	1
12	12,2	13,46	-1,27	1
13	7,8	10,29	-2,50	1
14	19,9	16,86	3,04	1
15	19,7	18	1,69
16	20	19,68	0,31
17	19,7	19,49	0,20	1
18	20,9	19,49	1,40	1
19	24	23,18	0,81	1
20	21,95	20,56	1,38	1
21	19,9	20,51	-0,61	1
22	21,6	19,75	1,84	1
23	19,2	18,59	0,61	1
24	17,6	13,98	3,62	1
25	9	10,8	-1,81	1
26	15,6	17,37	-1,77	1
27	14,1	18,51	-4,42	1
28	19,7	20,19	-0,50
29	20,2	20	0,19
30	20,4	20	0,39	1
31	21,3	23,69	-2,40	1
32	19,3	21,07	-1,78
33	23,1	21,02	2,08	1
34	19,6	20,26	-0,67	1
35	21,6	19,1	2,50	1
36	12,3	14,49	-2,19

=26

17,834

Отже, можна зробити висновок, що за даним критерієм модель є адекватною.

Розрахункове значення критерію Ст’юдента задається формулою

 

 (3.2.9)

 

де - середнє арифметичне значення рівнів залишкової послідовності e_t,- генеральна середня,_e - стандартне (середньо квадратичне) відхилення для цієї послідовності.

Для нашого випадку можна записати:

 

 (3.2.10)

 

Якщо розрахункове значення t менше табличного значення t_a статистики Ст’юдента з заданим рівнем значущості  і числом ступенів свободи n-1, тоді гіпотеза про рівність нулю математичного очікування випадкової послідовності приймається; інакше ця гіпотеза відкидається і модель вважається неадекватною.

Розрахувавши критерій Ст’юдента за допомогою формули (3.3.10), отримуємо значення t=0, що свідчить про адекватність моделі.

Перевіримо адекватність за допомогою d-критерію Дарбіна - Уотсона. Він використовується для перевірки відсутності суттєвої автокореляції в залишковій послідовності. Розрахункове значення визначається за формулою:

 (3.2.11)

 

Розрахункове значення критерію Дарбіна - Уотсона з інтервалу від 2 до 4 свідчить про від’ємний зв’язок; в цьому разі цього потрібно перетворити за формулою d' = 4 - d і після цього використовувати значення d'.

На основі таблиці 3.3.1 розраховуємо критерій Дарбіна-Уотсона.

 

Таблиця 3.2.2

3,79			14,39
-1,25	-5,05	25,45	1,57
2,20	3,45	11,93	4,85
0,32	-1,88	3,53	0,10
-0,69	-1,01	1,02	0,47
-1,39	-0,70	0,49	1,92
1,52	2,91	8,48	2,33
0,94	-0,58	0,34	0,89
-1,50	-2,45	6,00	2,26
-0,75	0,76	0,57	0,56
-3,38	-2,63	6,94	11,43
-1,27	2,11	4,45	1,61
-2,50	-1,23	1,51	6,24
3,04	5,53	30,64	9,23
1,69	-1,35	1,81	2,86
0,31	-1,38	1,90	0,10
0,20	-0,11	0,01	0,04
1,40	1,20	1,44	1,97
0,81	-0,59	0,35	0,66
1,38	0,57	0,32	1,92
-0,61	-2,00	4,00	0,38
1,84	2,46	6,04	3,40
0,61	-1,23	1,52	0,37
3,62	3,01	9,06	13,10
-1,81	-5,43	29,45	3,27
-1,77	0,03	0,00	3,14
-4,42	-2,65	7,00	19,52
-0,50	3,92	15,37	0,25
0,19	0,69	0,47	0,04
0,39	0,20	0,04	0,15
-2,40	-2,79	7,77	5,74
-1,78	0,62	0,38	3,15
2,08	3,85	14,83	4,31
-0,67	-2,74	7,52	0,44
2,50	3,17	10,03	6,25
-2,19	-4,69	21,99	4,80

 

Розрахункове значення критерію d (або d') порівнюється з верхнім d₂ і нижнім d₁ критичними значеннями статистики Дарбіна - Уотсона.

Якщо розрахункове значення критерію d більше за верхнє табличне значення d₂, тоді гіпотеза про незалежність рівнів залишкової послідовності, тобто про відсутність у ній автокореляції, приймається.

Якщо значення d менше нижнього табличного значення d₁, тоді ця гіпотеза відкидається і модель неадекватна. Якщо значення d знаходиться між значеннями d₁ і d₂, включає самі ці значення, тоді вважається, що немає достатніх підстав робити той чи інший висновки і необхідне подальше дослідження.

В нашому випадку d=1,82, d1=1.41, d2=1.53

d > d2, тобто модель є адекватною.