Спектры и структура атома водорода

Атом водорода

 

С точки зрения квантовой механики атом водорода и любой водородоподобный ион (например, He⁺⁺ и др.) представляют собой простейшую систему, состоящую из одного электрона с массой m и зарядом e, который движется в кулоновском поле ядра, имеющего массу М и заряд + Ze (Z – порядковый номер элемента). Если учитывать только электростатическое взаимодействие, то потенциальная энергия атома равна  Ze ²/ r, и гамильтониан будет иметь вид H = p ²/2   Ze ²/ r, где  = тМ /(m + M)  m. В дифференциальной форме оператор p ² равен  ћ ²², где ћ = h /2 . Таким образом, уравнение Шрёдингера принимает вид

 

 

Решение этого уравнения определяет энергии стационарных состояний (Е < 0) водоподобного атома:

 

 

Так как m / M  1/2000 и  близко к m, то

E_n = – RZ ²/ n ².

 

где R – постоянная Ридберга, равная R  me ⁴/2 ћ ²  13,6 эВ (или  19678 см^1); в рентгеновской спектроскопии ридберг часто используется в качестве единицы энергии. Квантовые состояния атома определяются квантовыми числами n, l и m_l. Главное квантовое число п принимает целые значения 1, 2, 3.... Азимутальное квантовое число l определяет величину момента количества движения электрона относительно ядра (орбитальный момент); при данном п оно может принимать значения l = 0, 1, 2,..., п  1. Квадрат орбитального момента равен l (l + l) ћ ². Квантовое число m_l определяет величину проекции орбитального момента на заданное направление, оно может принимать значения m_l = 0, 1, 2,...,  l. Сама проекция орбитального момента равна m_l ћ. Значения l = 0, 1, 2, 3, 4,... принято обозначать буквами s, p, d, f, g,.... Следовательно, уровень 2 р водорода имеет квантовые числа п = 2 и l = 1.

Спектральные переходы могут происходить отнюдь не между всеми парами уровней энергии. Электрические дипольные переходы, сопровождающиеся наиболее сильными спектральными проявлениями, имеют место лишь при выполнении определенных условий (правил отбора). Переходы, которые удовлетворяют правилам отбора, называются разрешенными, вероятность остальных переходов значительно меньше, они трудны для наблюдения и считаются запрещенными.

В атоме водорода переходы между состояниями пlm_l и п  l  m_{l } возможны в том случае, если число l изменяется на единицу, а число m_l остается постоянным или изменяется на единицу. Таким образом, правила отбора можно записать:

 

 l = l – l  = 1,  m_l = m_{l } = 0, 1.

 

Для чисел п и п  правил отбора не существует.

При квантовом переходе между двумя уровнями с энергиями E_{n } и E_n атом испускает или поглощает фотон, энергия которого равна  Е = E_{n }  E_n. Поскольку частота фотона  =  Е / h, частоты спектральных линий атома водорода (Z = 1) определяются формулой

 

а соответствующая длина волны равна  = с / . При значениях п  = 2, п = 3, 4, 5,... частоты линий в эмиссионном спектре водорода соответствуют серии Бальмера (видимый свет и ближняя ультрафиолетовая область) и хорошо согласуются с эмпирической формулой Бальмера _n = 364,56 n ²/(n ²  4) нм. Из сравнения этих двух выражений можно определить значение R. Спектроскопические исследования атомарного водорода – прекрасный пример теории и эксперимента, внесших огромный вклад в фундаментальную науку.