Определение усилий в раме от действия сейсмических сил

 

Рассматриваемая рама представляет собой многократно статически и кинематически неопределимую систему. Определим усилия в раме от действия горизонтальных (сейсмических) сил одним из таких методов – методом моментных точек. Основные принципы данного метода заключаются в том, что

– нулевые моментные точки находятся посередине высот стоек. Для стоек 1-го этажа положение нулевой моментной точки принимается на расстоянии 2/3 от нижней заделки;

– суммы вышележащих горизонтальных сил для каждого яруса распределяются по стойкам пропорционально отношению погонной жесткости отдельной стойки к суммарной погонной жесткости всех стоек рассматриваемого яруса:

Итак, рассмотрим загружение рамы сейсмическими силами, соответствующими 1-ой форме колебаний (рис. 12а). При этом учитываем, что все стойки рамы имеют одинаковую погонную жесткость s₁, а ригели – r₁.

Расчет начинаем с верхних этажей.

Сумма вышележащих горизонтальных сил:

на 5-м этаже равна: ∑Q₅ = S₁₅ = 56,97 кН;

на 4-ом: ∑Q₄ = S₁₅ + S₁₄ = 56,97+114,06=171,04 кН;

на 3-ем: ∑Q₃ = S₁₅ + S₁₄ + S₁₃ = 56,97+114,06 + 97,03 = 268,07 кН;

на 2-ом: ∑Q₂ = S₁₅ + S₁₄ + S₁₃ + S₁₂ = 56,97+114,06 + 97,03+70,53 = 338,59 кН;

на 1-ом: ∑Q₁ = S₁₅ + S₁₄ + S₁₃ + S₁₂ + S₁₁ = 56,97+114,06 + 97,03+70,53+ 37,06 = 375,66 кН.

Данные вычисления можно отобразить в виде эпюры суммарных поперечных сил, для консольного стержня, моделирующего работу одновременно всех стоек рамы (рис. 12б). Погонная жесткость этого стержня принимается равной суммарной жесткости всех колонн s = 2· s₁.

Далее полагая, что точки нулевых моментов расположены посередине высоты стоек, можем определить моменты в верхнем и нижнем сечении стоек путем умножения приходящейся на эти стойки суммарной поперечной силы на плечо, равное половине высоты этажа. Так для стоек 5-го этажа:

;

4 этажа: ;

3 этажа: ;

2 этажа: ;

Для 1-го этажа полагаем, что нулевые моментные точки расположены на расстоянии 2/3 h от нижнего сечения стоек. Тогда изгибающие моменты в верхнем и нижнем сечениях определяют путем умножения поперечной силы ∑Q1 на соответствующее плечо. Для верхнего сечения стоек 1-го этажа:

 

Для нижнего сечения:

 

Рис. 12: а) схема загружения рамы, соответствующая 1-ой форме колебаний; б) эпюра суммарных поперечных сил; в) эпюра суммарных изгибающих моментов

 

По полученным данным можем построить эпюру суммарных усилий, воспринимаемых одновременно всеми стойками (рис. 12в), а затем на основе последней, легко построить эпюру изгибающих моментов для стоек заданной расчетной рамы (рис.13). При этом распределение суммарных усилий по стойкам производим пропорционально их жесткостям. И учитывая, что в данной задаче все стойки имеют одинаковую жесткость, получим:

– в опорном сечении стоек первого этажа:

 

в верхнем сечении:

 

- в верхнем и нижнем сечении стоек второго этажа:

 

- в верхнем и нижнем сечении стоек третьего этажа:

 

- в верхнем и нижнем сечении стоек четвертого этажа:

 

- в верхнем и нижнем сечении стоек пятого этажа:

.

Определив моменты в стойках, переходим к определению моментов в узловых сечениях ригелей. Изгибающие моменты в ригелях у крайних узлов равны сумме моментов в примыкающих стойках с обратным знаком:

 

  

 

 

 

;

 

Полная эпюра изгибающих моментов, соответствующая 1-ой форме колебания рамы, показана на рис. 13.

Рассмотрим загружение рамы сейсмическими силами, соответствующими 2-ой форме колебаний (рис. 14а). 

Сумма горизонтальных сил: 

Сумма вышележащих горизонтальных сил:

на 5-м этаже равна: ∑Q₅ = S₂₅ = -31,70 кН;

на 4-ом: ∑Q₄ = S₂₅ + S₂₄ = -31,70-39,24 = -70,93 кН;

на 3-ем: ∑Q₃ = S₂₅ + S₂₄ + S₂₃ = -31,70-39,24 +20,62= -50,31 кН;

на 2-ом: ∑Q₂ = S₂₅ + S₂₄ + S₂₃ + S₂₂ = -31,70-39,24 +20,62+63,46= 13,15 кН;

на 1-ом: ∑Q₁ = S₂₅ + S₂₄ + S₂₃ + S₂₂ + S₂₁ = -31,70-39,24 +20,62+63,46+53,98 = 67,13 кН.

Эпюра суммарных поперечных сил, для консольного стержня, моделирующего работу одновременно всех стоек рамы, показана на рис. 14б.

 

Рис. 13. Эпюра изгибающих моментов в раме при 1-ой форме колебаний

 

Моменты в верхнем и нижнем сечении стоек.

5-го этажа: ;

4 этажа: ;

3 этажа: ;

2 этажа: ;

Верхнего сечения стоек 1-го этажа:

 

Для нижнего сечения:

 

Рис. 14: а) схема загружения рамы, соответствующая 1-ой форме колебаний;

б) эпюра суммарных поперечных сил; в) эпюра суммарных изгибающих моментов

 

Построим эпюру изгибающих моментов для стоек рамы:

– в опорном сечении стоек первого этажа:

 

в верхнем сечении:

 

- в верхнем и нижнем сечении стоек второго этажа:

 

- в верхнем и нижнем сечении стоек третьего этажа:

 

- в верхнем и нижнем сечении стоек четвертого этажа:

 

- в верхнем и нижнем сечении стоек пятого этажа:

.

Определив моменты в стойках, переходим к определению моментов в узловых сечениях ригелей. Изгибающие моменты в ригелях у крайних узлов равны сумме моментов в примыкающих стойках с обратным знаком:

 

 

 

 

 

;

 

Полная эпюра изгибающих моментов, соответствующая 2-ой форме колебания рамы, показана на рис. 15.

Рассмотрим загружение рамы сейсмическими силами, соответствующими 3-ой форме колебаний (рис. 16).

Сумма вышележащих горизонтальных сил:

на 5-м и 4-м этаже равна: ∑Q₅ =∑Q₄ = S₃₅ = 19,32 кН;

на 3-м и 2-м этаже: ∑Q₃ =∑Q₂ = S₃₅ + S₃₃ = 19,32+(-40,68) = -21,36 кН;

на 1-ом: ∑Q₁ = S₃₅ + S₃₃ + S₃₁ = 19,32+(-40,68) + 40,68 = 19,32 кН.

Эпюра суммарных поперечных сил, для консольного стержня, моделирующего работу одновременно всех стоек рамы, показана на рис. 16б.

Моменты в верхнем и нижнем сечении стоек

5-го этажа: ;

4 этажа: ;

3 этажа: ;

2 этажа: ;

для верхнего сечения стоек 1-го этажа:

 

Для нижнего сечения:

 

Рис. 15. Эпюра изгибающих моментов в раме при 2-ой форме колебаний

Рис. 16: а) схема загружения рамы, соответствующая 3-ей форме колебаний; б) эпюра суммарных поперечных сил; в) эпюра суммарных изгибающих моментов

 

Построим эпюру изгибающих моментов для стоек рамы:

– в опорном сечении стоек первого этажа:

 

в верхнем сечении:

 

- в верхнем и нижнем сечении стоек второго этажа:

 

- в верхнем и нижнем сечении стоек третьего этажа:

 

- в верхнем и нижнем сечении стоек четвертого этажа:

 

- в верхнем и нижнем сечении стоек пятого этажа:

.

Определив моменты в стойках, переходим к определению моментов в узловых сечениях ригелей. Изгибающие моменты в ригелях у крайних узлов равны сумме моментов в примыкающих стойках с обратным знаком:

 

 

 

 

 

;

 

Полная эпюра изгибающих моментов, соответствующая 3-ой форме колебания рамы, показана на рис. 17.

Рис. 17. Эпюра изгибающих моментов в раме при 3-ей форме колебаний

 

Определение окончательных (суммарных) усилий в элементах рамы от действия сейсмических сил проводятся по формулам (1.13). Покажем принцип использования этих формул на примере. Например, необходимо определить значения изгибающих моментов в верхнем сечении стойки рамы пятого этажа (сечение 6-6 на рис. 18) и в сечении ригеля 5-го этажа (сечение 7-7).

Рис.18 Положение расчетных сечений

 

В сечении 6-6:

 

В сечении 7-7: