Тригонометрическая форма комплексного числа

Запись комплексного числа z = a + bi в виде =  называется тригонометрической формой комплексного числа.

Модуль комплексного числа: r=

Аргумент комплексного числа:

Для представления комплексного числа  в тригонометрической форме необходимо найти:

1) модуль этого числа ; изобразить точку  и выбрать нужное значение аргумента этого числа;

2) записать , воспользовавшись соотношением

= .            

Пример. Записать комплексное число  в тригонометрической форме.

Решение.Чтобы записать комплексное число в тригонометрической форме нужно знать его модуль и аргумент, по формуле находим

Затем подсчитываем главное значение аргумента . Вещественная и мнимая части данного комплексного числа положительны ().

Тогда .

Пример. Записать в тригонометрической форме комплексное число

Решение. Данное число является вещественным и отрицательным, а главное значение его аргумента равно . Подсчитаем модуль числа

Модуль и аргумент числа –5 найдены, по формулам имеем .

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

При умножении двух или нескольких чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются:

   

При делении двух комплексных чисел модуль числителя делится на модуль знаменателя, а аргумент знаменателя вычитается из аргумента числителя:

.

Пример. Найти произведение чисел , где

, .

Решение. = = .

Пример. Найти частное чисел  и , где

, .

 

Решение.

= =

.

Входной контроль

1. Дайте определение комплексного числа в тригонометрической форме записи.      

2. Как осуществляется переход от алгебраической формы записи комплексного числа в тригонометрическую?    

3. В чем заключаются действия над комплексными числами в тригонометрической  форме записи?

Ход работы

1.Перейти из алгебраической формы записи комплексного числа в тригонометрическую, если

1) z=5i 2) z=8 3) z=2+2i 4)z=- +i 5) z=-2-3i 6) z=1-6i

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

1)

2) ,

3) ,

Выходной контроль

1 вариант

1.Перейти из алгебраической формы записи комплексного числа в тригонометрическую, если

1) (1 балл)  2) (2 балла)  3) (2 балла)      

2.Выполнить умножение (2 балла) и деление (2 балла) комплексных чисел:

1)

2) ,

2 вариант

1.Перейти из алгебраической формы записи комплексного числа в тригонометрическую, если

1) (1 балл)  2) (2 балла)  3) (2 балла)      

2.Выполнить умножение (2 балла) и деление (2 балла) комплексных чисел:

1)

2) ,

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
8-9	90 ÷ 100	5	отлично
7	80 ÷ 89	4	хорошо
6	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 6	менее 70	2	неудовлетворительно

 

Практическое занятие № 21

Тема: Применение комплексных чисел при решении алгебраических задач.

Цель: Научиться применять комплексные числа при решении алгебраических задач

Теоретические основы