Непосредственное интегрирование

При непосредственном интегрировании следует пользоваться таблицей интегралов. Интегрируя функции, содержащие переменную в знаменателе дроби или под знаком радикала, нужно вводить степень с отрицательным или дробным показателем.

Пример ∫(x +3)(x -2) dx =∫(x ² + x -6) dx =∫ x ² dx +∫ xdx -6∫ dx =

Если существует конечный передел интегральной суммы

 

при λ→0, не зависящий от способа разбиения τ_n отрезка [a; b] на частичные отрезки и выбора промежуточных точек ξ_k, то этот предел называют определенным интегралом (или интегралом Римана) от функции f(x) на отрезке [a; b] и обозначают:

       Если указанный предел существует, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a; b] (или интегрируемой по Риману). При этом f(x)dx называется подынтегральным выражением, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования, a и b – соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

       Определенный интеграл есть число, равное пределу, к которому стремится интегральная сумма, в случае, когда диаметр разбиения λ стремится к нулю.

       Вычисление определенного интеграла основывается на формуле Ньютона-Лейбница:

Пример

Входной контроль

1.Дайте определение неопределенного интеграла

2. Перечислите свойства интеграла

3. В чем заключается непосредственное интегрирование

Ход работы

Найти неопределенные интегралы:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Выходной контроль

Задания 1-3 -1 балл, задания 4-5-2 балла

2 вариант 1. 2. 3. 4. 5.

1 вариант

1.

2.

3.         

4.

5.                                                                     

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
7	90 ÷ 100	5	отлично
6	80 ÷ 89	4	хорошо
5	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 5	менее 70	2	неудовлетворительно

 

Практическое занятие № 14

Тема: Вычисление интегралов дробно-рациональных функций

Цель: Научиться вычислять интегралы дробно-рациональных функций

Теоретические основы

Дробно-рациональной функцией или рациональной дробью R(x) называется отношение двух многочленов: .

Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то рациональная дробь называется правильной. В противном случае рациональная дробь называется неправильной.

Интегрирование дробно-рациональной функции проводится в несколько этапов.

1) если рациональная дробь неправильная, то выделить из нее целую часть и правильную рациональную дробь, используя деление дроби «уголком»

Пример 1.

Для вычисления второго интеграла введем замену: х-2=t, тогда dx=dt. Получим:

 

2) знаменатель дроби разложить на линейные и квадратные множители, с действительными коэффициентами;

3) правильную рациональную дробь разложить методом неопределенных коэффициентов на простейшие дроби

4) найти неопределенные (неизвестные пока) коэффициенты

5) найти интегралы от целой части и простейших дробей.

Пример 2.

Разложим знаменатель дроби на линейные множители:

=1, =-6, получим

Разложим дробь на сумму дробей:

 

Приравниваем коэффициенты при неизвестных:

При х: А+В=1

При х⁰: 6А-В=2 Решим систему и получим: , В

Пример 3.

Разложим знаменатель дроби на линейные множители:

 На линейные множители знаменатель дроби разложить не получится.

Введем замену: х+1=t, получим x=1-t, dx=dt

Входной контроль

1.Дайте определение рациональной дроби.

2.Какая дробь называется правильной? Неправильной?

3. Запишите этапы интегрирования дробно-рациональной функции.

Ход работы

Вычислите интегралы:

1.

2.

3.

4.

5.

Выходной контроль

1 вариант

1 (3 балла)

2 (4 балла)

3 (4 балла)

4 (4 балла)

2 вариант

1 (3 балла)

2 (4 балла)

3 (4 балла)

4 (4 балла)

 

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
14-15	90 ÷ 100	5	отлично
12-13	80 ÷ 89	4	хорошо
11	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 11	менее 70	2	неудовлетворительно

 

Практическое занятие № 15

Тема: Вычисление интегралов методом заменой переменных и по частям.

Цель: Научиться вычислять интегралы методом заменой переменных и по частям.

Теоретические основы