Решите систему уравнений методом Гаусса

Практическое занятие № 1

Тема: Операции над матрицами. Вычисление определителей.

Цель: Научиться выполнять операции над матрицами, вычислять определители.

Теоретические основы

Матрицей размера  называется прямоугольная таблица чисел, содержащая  строк и  столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Виды матриц: матрица-строка, матрица-столбец:

Матрица называется квадратной -го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно .

Действия над матрицами

1. Сложение

Пусть матрицы A и B имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.

2. Вычитание

Пусть матрицы A и B имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы вычесть матрицы A и B нужно из элементов матрицы A вычесть элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.

3. Умножение на число

Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу:

4. Умножение матриц

Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй).

Произведением матрицы A на матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

5. Транспонирование матриц

матрицу B называют транспонированной

матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Обозначают: A^T.

Определители квадратных матриц

Определитель – число, характеризующее квадратную матрицу. Обозначается  или . Определители матрицы первого порядка  называется элемент . .

Определителем матрицы второго порядка называется число, которое вычисляется по формуле:

Определителем матрицы третьего порядка называется число, которое вычисляется по формуле:

Входной контроль

1. Определение матрицы.

2. Операции над матрицами

3. Определители.

4. Вычисление определителей.

Ход работы

1. Даны матрицы:  и  Найти: А-В, А+В, АВ.

2.Даны матрицы: А=  и В= . Найти определитель матрицы С=5А-АВ.

3.Вычислить определители:

а)                  б)   

Выходной контроль

1 вариант

1. Даны матрицы:  и  

Найти: а) (1балл) А-В, б) (1балл) А+В, в) АВ(2 балла).

2. Вычислить определители: а) (1балл)   б) (2балла)

3.Даны матрицы (4балла): А=  и В= . Найти определитель матрицы С=2А-5В.

2 вариант

1.Даны матрицы:  и  

Найти: а) (1балл) А-В, б) (1балл) А+В, в) АВ(2 балла).

2. Вычислить определители: а) (1балл) б) (2балла)

3.Даны матрицы (4балла): А=  и В= . Найти определитель матрицы С=3А-2В.

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
10-11	90 ÷ 100	5	отлично
9	80 ÷ 89	4	хорошо
8	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 8	менее 70	2	неудовлетворительно

 

Практическое занятие № 2

Тема: Вычисление обратной матрицы

Цель: Научиться вычислять обратную матрицу

Теоретические основы

Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

Только квадратная матрица имеет обратную.

Th. Обратная матрица существует (n единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная .

Обратная матрица находится по формуле:

,

где - алгебраические дополнения элемента в ее определителе, т.е. произведение минора второго порядка, полученного вычеркиванием m -й строки и n -го столбца, в определителе матрицы А, на .

    Минором данного элемента определителя называется определитель, который получается из исходного путем вычеркивания строки и столбца, содержащего данный элемент. Обозначается:

     Алгебраическим дополнением данного элемента называется его минор, умноженный на . Обозначается . Т.е. =

Входной контроль

1.Определение обратной матрицы

2.Условие существования обратной матрицы

3.Формула нахождения обратной матрицы

4.Определение алгебраического дополнения

Ход работы

Найти матрицу, обратную к данной, выполнить проверку:

1) 2) 3)

Выходной контроль

Найти матрицу, обратную к данной, выполнить проверку:

Верно вычисленные:

 определитель матрицы системы- 1 балл

Алгебраические дополнения -9 баллов (по 1 баллу за каждое)

Верная запись обратной матрицы -1 балл

Верно выполненная проверка- 3 балла

1 вариант

1) 2)

2 вариант

2) 2)

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
14-15	90 ÷ 100	5	отлично
12-13	80 ÷ 89	4	хорошо
11	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 11	менее 70	2	неудовлетворительно

 

Практическое занятие № 3

Тема: Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы.

Цель: Научиться решать системы линейных уравнений методом обратной матрицы

Теоретические основы

Пусть дана система линейных уравнений:

Решение этой системы можно найти по формуле: Х=А^-1·В, где А^-1-матрица, обратная к матрице

А= , ,

Входной контроль

1.Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы.

Ход работы

Решите системы уравнений методом обратной матрицы:

1.  

2.

     

Выходной контроль

Решите систему уравнений методом обратной матрицы:

Верно вычисленные

 определитель матрицы системы- 1 балл

Алгебраические дополнения -9 баллов (по 1 баллу за каждое)

Верная запись обратной матрицы -1 балл

Решение системы уравнений- 3 балла

1 вариант

2 вариант

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
13-14	90 ÷ 100	5	отлично
11-12	80 ÷ 89	4	хорошо
10	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 10	менее 70	2	неудовлетворительно

Практическое занятие № 4

Тема: Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера.

Цель: Научиться решать системы линейных уравнений по правилу Крамера.

Теоретические основы

Th Крамера. Пусть - определитель матрицы системы А, а - определитель матрицы, получаемый из матрицы А заменой j – го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

Входной контроль

1.Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера.

Ход работы

Решите системы по правилу Крамера

1.

2.  

3.

     

Выходной контроль

Решите систему уравнений по правилу Крамера:

Верно вычисленный определитель матрицы системы- 1 балл

Определители матрицы для каждого коэффициента -9 баллов (по 1 баллу за каждое)

Решение системы уравнений- 1 балл

1 вариант

2 вариант

 

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
10-11	90 ÷ 100	5	отлично
9	80 ÷ 89	4	хорошо
8	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 8	менее 70	2	неудовлетворительно

 

Практическое занятие № 5

Тема: Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Цель: Научиться решать системы линейных уравнений методом Гаусса.

Теоретические основы

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система управлений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Преобразование Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразование с матрицей коэффициентов. Рассмотрим матрицу

Называемую расширенной матрицей системы, ибо в нее, кроме матрицы системы А, дополнительно включен столбец свободных членов.

Входной контроль

1. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Ход работы

Решите системы уравнений методом Гаусса:

1.  

2.

     

Выходной контроль

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
9-10	90 ÷ 100	5	отлично
8	80 ÷ 89	4	хорошо
7	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 7	менее 70	2	неудовлетворительно

 

Практическое занятие № 6

Тема: Решение прикладных задач с помощью производной.

Цель: Научиться решать прикладные задачи с помощью производной

Теоретические основы

Решение задач прикладного характера основывается на физическом и геометрическом смысле производной:

Геометрический смысл производной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x₀:

,

Входной контроль

1 В чем заключается решение прикладных задач при помощи производной

2 В чем заключается физический смысл производной

3В чем заключается геометрический смысл производной

Ход работы

1.Найдите скорость износа оборудования за период равный 5лет, если его износ изменяется по закону:

2. Заряд, протекающий через проводник, меняется по закону . Найти силу тока и скорость изменения силы тока в момент времени t=  c

 3.Тело, масса которого равна 0,2 кг движется прямолинейно по закону . Найдите кинетическую энергию тела через три секунды после начала движения.

4.Найдите величину силы F, действующей на точку массой 0,1 кг, движущуюся по закону: , при t =1 c

Выходной контроль

Каждая задача -2 балла

1 вариант

1.Заряд, протекающий через проводник, меняется по закону . Найти силу тока в момент времени t=5 c.

2.Точка движется прямолинейно по закону . Найти момент времени, при котором скорость точки окажется равной нулю.

3.Точка движется прямолинейно по закону . Найти ускорение в момент времени t=4 c.

4.Тело, масса которого равна 0,11 кг движется прямолинейно по закону . Найдите кинетическую энергию тела через две секунды после начала движения.

2 вариант

1.Изменение силы тока в зависимости от времени задано уравнением I = 2 t² – 5 t. Найти скорость изменения силы тока в момент времени 10 с.

2.Точка движется прямолинейно по закону . Найти скорость в момент времени t=4 c.

3.Закон прямолинейного движения тела задан уравнением . Найти максимальную скорость движения тела.

4.Найдите величину силы F, действующей на точку массой 0,2 кг, движущуюся по закону: , при t =2 c

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
7-8	90 ÷ 100	5	отлично
6	80 ÷ 89	4	хорошо
5	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 5	менее 70	2	неудовлетворительно

 

 

Практическое занятие № 7

Тема: Приложение дифференциала к приближённым вычислениям

Цель: Научиться применять дифференциал к приближённым вычислениям

Теоретические основы

Пусть функция y = f(х) дифференцируема на отрезке [a, b], содержащем некоторую точку x. Тогда производная в этой точке x определятся равенством . Из этого равенства (по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции) следует, что

,

где α(Δx) – б.м.ф. при . Отсюда

то есть приращение ∆у функции f(х), дифференцируемой в точке х, можно представить в виде суммы двух слагаемых, которые являются бесконечно малыми:

– линейного члена относительно Δx

и α(Δx)· Δx – нелинейного члена.

Первое слагаемое называют главной частью приращения функции Δy.

Определение. Главная часть приращения функции f(х), линейная относительно приращения независимой переменной ∆х, называется дифференциалом функции f(х) в точке х, т.е. это произведение производной f'(x) на приращение независимой переменной ∆х:

dy =df(x)=f'(х)·∆х.

Замечание 1. Дифференциал функции составляет основную (главную) часть ее приращения, линейную относительно ∆х.

Например, приращение функции у = х² в точке х = 1, вызванное приращением аргумента

 dх = 0,1, есть величина

∆у = (х + ∆х)² – х² = (1 + 0,1)² – 1² = 0,21.

Дифференциал функции в этой точке равен

dy = f'(х) · ∆х = 2 · х · ∆х = 2 · 1 · 0,1 = 0,2.

Таким образом, на нелинейную часть приращения α(Δx) · ∆х приходится величина 0,01 из полной величины приращения 0,21.

Замечание 2. Дифференциал аргумента совпадает с его приращением (dх=∆х), поэтому дифференциал функции записывается в виде

dy = df(х) = f'(x) dx,

т.е. дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Геометрический смысл дифференциала: dy = KN, т.е. дифференциал функции f(х) в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получит приращение Dх.

Дифференциал к приближённым вычислениям применяется по формуле:

, где

Пример 1. Вычислить приближенное значение корня .

Решение. Рассмотрим функцию в окрестности точки x =1.Найдем производную функции

∆х = 1-0,07=0,07, получим из формулы:

Пример 2. Найти приближенно sin31⁰.

Решение.

Пусть x=31⁰, x₀=30⁰ тогда ∆х =31^0-30⁰=1⁰

Перейдем из градусной меры угла в радианную:

f(x)= sinx, тогда значит:

  f(30⁰)= sin30⁰=0,5;

Используя формулу получим:

Входной контроль

1. Дайте определение дифференциала функции

2. Запишите формулу применения дифференциала в приближенных вычислениях

 

Ход работы

1.Найдите дифференциал функции:

1) y= x³-2x+5 2) y= 3) y=       4)y=sin(5x-7)

2.Вычислите приближенно:

3)  4) tg 5) cos 6) ln 0,998

Выходной контроль

1 вариант

1.Найдите дифференциал функции (каждое задание-1 балл):

1) y=x⁴+6x+7 2) y= 3) y=       4)y=tg(1-x)

2.Вычислите приближенно (каждое задание-3 балла):

1)  , 2) 2)  , 3) , 4) sin , 5) ln1,233

2 вариант

1.Найдите дифференциал функции (каждое задание-1 балл):

1) y=x⁵-3x+11 2) y= 3) y=       4)y=ctg(8-x)

2.Вычислите приближенно (каждое задание-3 балла):

1) ) , 4) sin

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
18-19	90 ÷ 100	5	отлично
16-17	80 ÷ 89	4	хорошо
14-15	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 14	менее 70	2	неудовлетворительно

 

Практическое занятие № 8

Тема: Исследование функции. Построение графиков

Цель: Научиться исследовать функции. Строить графики.

Теоретические основы

План исследования функции и построения ее графика

1. Область определения.

2. Четность, нечетность.

3. Производная.

4. Стационарные и критические точки.

5. Знаки производной, промежутки монотонности.

6. Экстремумы функции.

7. Точки пересечения с осями координат

8. График.

Пример.

1. Исследуйте функцию и постройте график:

а) Функция определена для всех , непрерывна.

б)  ни чётная, ни нечётная.

в)    

г) -   0  +     2    -     

 

х=0 точка min;

x=2 точка max;

 возрастает при

             убывает при

д) Найдём экстремумы функции:

е) Найдём пересечение с осью Ох, для этого решим уравнение:

Построим график.                        у

                                           

 

 

                                                                                  

Входной контроль

1. Запишите план исследования функции и построения ее графика.

                                                                        Ход работы        

Постройте графики функций

  

Выходной контроль

Постройте графики функций

1 вариант

1)  (7 баллов) у=х³-12х²+36х

2 вариант

1)  (7 баллов) у=х³-6х²

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
7	90 ÷ 100	5	отлично
6	80 ÷ 89	4	хорошо
5	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 5	менее 70	2	неудовлетворительно

 

Практическое занятие № 9

Тема: Решение прикладных задач с помощью производной и дифференциала

Цель: Научиться решать прикладные задачи с помощью производной и дифференциала

Теоретические основы

Решение прикладных задач посредством математики, как правило, содержит три основных этапа:

1) формализацию (перевод исходной задачи на язык математики),

2) решение полученной математической задачи,

3)   интерпретация найденного решения («перевод» его с языка математики в терминах первоначальной задачи).

Решение разнообразных прикладных задач часто сводится к нахождению дифференциала функции.

Для решения данных задач используем схему:                                                                            1) задача переводится на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию f(x),                                                                                   2) средствами анализа ищется приближенное значение этой функции с использованием дифференциала,                                                                                                                                                  3)выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный на языке функций) результат.

Формула нахождения приближенного значения функции с использованием дифференциала:

Пример. Вычислите приближённо объём сферического слоя, если известно, что радиус внутренней поверхности R=0,5 м, а толщина равна 0,1 м 

Решение

 

 

Объём шара равен  

Объём сферического слоя есть приращение объёма шара, вызванное изменением радиуса от 0,5 до 0,6 м. Приращение объёма шара заменяем дифференциалом:  

 

Подставим числовые значения R=0,5; dR=0,1

Имеем:

Решение разнообразных прикладных задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции. Для решения данных задач используем схему:                                                      1) задача переводится на язык функций. Для этого выбирают удобный параметр х, через который интересующую нас величину выражают как функцию f(x),                                                                                   2) средствами анализа ищется наибольшее или наименьшее значение этой функции на некотором промежутке,                                                                                                                                                  3)выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный на языке функций) результат.

Правило для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

1) Нахождение производной функции

2) Нахождение критических точек (точек, в которых производная функции равна нулю или не существует)

3) Нахождение значений функции в концах отрезка и критических точках, принадлежащих данному отрезку.

Пример Найдите наибольший объём цилиндра, вписанного в данный конус

Решение

Пусть задан конус с высотой H и радиусом R. Обозначим через h высоту цилиндра и через r радиус основания цилиндра, вписанного в данный конус.

Обозначим BM=x. Тогда

и r=R-x

Объём цилиндра равен  подставим и получим

 

 

Определим, при каком значении х объём цилиндра будет принимать наибольшее значение. Най дём производную:

Найдем критические точки:  при . Решая полученное уравнение получим:

+         -           

 

0        

Следовательно, в точке функция имеет максимум, то  является наибольшим значением объёма вписанных цилиндров. 

Входной контроль

1.Перечислите этапы решения прикладных задач

2.Запишите схему применения дифференциала для решения прикладных задач

3. Запишите формулу нахождения приближенного значения функции с использованием дифференциала,                                                                                                                                                  

4.Запишите схему применения производной для решения прикладных задач

5.Запишите правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

Ход работы

1.Найти наименьшее и наибольшее значения функции y=x⁴-2x²+3 на отрезке [-3,2]

2.Объем продукции, произведенной бригадой рабочих, может быть описан уравнением

 (ед), 0 рабочее время в часах. Вычислить производительность труда и скорость через час после начала работы и до ее окончания.

3.Электронагревательный прибор потребляет мощность от источника тока, э.д.с. которого равна E, а внутреннее сопротивление и сопротивление подводящих проводов в сумме равны r. Какое сопротивление R должен иметь прибор, чтобы в нем выделялась максимальная мощность?

4.На какой высоте над центром круглого стола радиуса 0,75м следует поместить лампочку, чтобы освещенность края стола была наибольшей? Яркость освещения выражается формулой E , где b– расстояние от источника света до освещаемой площадки.

Выходной контроль

1 вариант

1.(3 балла) Найти наименьшее и наибольшее значения функции y=3x⁵-5x³ на отрезке [-2,3]

2. (3 балла) Объем продукции, произведенной бригадой рабочих, может быть описан уравнением

 (ед), рабочее время в часах. Вычислить производительность труда и скорость через три часа после начала работы и до ее окончания.

2 вариант

1.(3 балла) Найти наименьшее и наибольшее значения функции y=x⁴-8x²-9 на отрезке [-1,1]

2. (3 балла) Объем продукции, произведенной бригадой рабочих, может быть описан уравнением

 (ед), рабочее время в часах. Вычислить производительность труда и скорость через два часа после начала работы и до ее окончания.

Критерии оценки:

Кол-во правильных ответов	Процент результативности (правильных ответов)	Оценка уровня подготовки
		балл (отметка)	вербальный аналог
6	90 ÷ 100	5	отлично
5	80 ÷ 89	4	хорошо
4	70 ÷ 79	3	удовлетворительно
Менее 4	менее 70	2	неудовлетворительно

 

Практическое занятие № 10

Тема: Вычисление пределов функций в точке и на бесконечности

Цель: Научиться вычислять пределы функций в точке и на бесконечности

Теоретические основы:

Определение: Число в называется пределом функции  при ; если для любого положительного числа Е можно указать такой интервал, содержащий точку  будет выполняться .

Смысл выражения  заключается в следующем: если значения аргумента выбираются всё ближе и ближе к значению , то значения функции всё меньше и меньше отличаются от предельного значения в.

Приведём без доказательства основные теоремы о пределах функций.

1. Предел константы равен самой константе:     
2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:   
3. Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций:
4. Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций.  

Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю.

Первый замечательный предел