Электромагнитные и механические аналогии.

В теме " Электромагнитные колебания " рассматривается электромагнитный процесс, возникающий при разрядке конденсатора через катушку индуктивности и делается вывод о колебательном характере этого процесса.

Электромагнитные колебания в контуре имеют сходство со свободными механическими колебаниями, например с колебаниями тела, закрепленного на пружине. Сходство относится не к природе самих величин, которые периодически изменяются, а к процессам периодического изменения различных величин.

При механических колебаниях периодически изменяются координата тела x и проекции его скорости , а при электромагнитных колебаниях меняются заряд конденсатора q и сила тока в цепи i. Одинаковый характер изменения величин (механических и электрических) объясняется тем, что имеется аналогия в условиях, при которых порождаются механические и электромагнитные колебания. Возвращение к положению равновесия тела на пружине вызывается силой упругости F, пропорциональной смещению тела от положения равновесия. Коэффициентом пропорциональности является жесткость пружины k. Разрядка конденсатора (появление тока) обусловлена напряжением U между пластинами конденсатора, которое пропорционально заряду q. Коэффициентом пропорциональности является величина , обратная емкости, так как = q.

Подобно тому как вследствии инертности тело лишь постепенно увеличивает скорость под действием силы и эта скорость после прекращения действия силы не становится сразу равной нулю, электрический ток в катушке за счет явления самоиндукции увеличивается под действием напряжения постепенно и не исчезает сразу, когда это напряжение становится равным нулю. Индуктивность контура L играет туже роль, что и масса тела m в механике. Соответственно кинетической энергии тела   отвечает энергия магнитного поля тока , а импульсу тела mv отвечает поток магнитной индукции Li.

Зарядке конденсатора от батареи соответствует сообщение телу, прикрепленному к пружине, потенциальной энергии  при смещении тела на расстояние  от положения равновесия (рис. 1,а).

Сравнивая это выражение с энергией конденсатора , замечаем, что жесткость k пружины играет при механическом колебательном процессе такую же роль, как величина , обратная емкости, при электромагнитных колебаниях, а начальная координата  соответствует заряду .

Возникновение в электрической цепи тока i за счет разности потенциалов соответствующих появлению в механической колебательной системе скорости  под действием силы упругости пружины (рис.1,б). Моменту, когда конденсатор разрядится, а сила тока достигнет максимума, соответствует прохождение тела через положение равновесия с максимальной скоростью (рис.1.в). Далее конденсатор начнет перезаряжаться, а тело смещаться влево от положения равновесия (рис.1,г). По прошествии половины периода Т конденсатор полностью перезарядится и сила тока станет равной нулю. Этому состоянию соответствует отклонение тела в крайнее левое положение, когда его скорость равна нулю (рис.1,д).

 

 

Рассмотренные выше колебания являются свободными. Здесь не учтено, что в любой реальной механической системе существуют силы трения.

Таким образом, соответствие между механическими и электрическими величинами при колебательных процессах можно представить в виде таблицы 1

 

Механические величины	Электрические величины
Координата х	Заряд q
Скорость vx=x'	Сила тока i=q'
Ускорение аx=vx	Скорость изменения силы тока i'
Масса m	Индуктивность L
Жесткость k	Величина, обратная электроемкости. 1/С
Сила F	Напряжение U
Вязкость b	Сопротивление R
Потенциальная энергия деформирован­ной пружины kx^2/2	Энергия электрического поля конден­сатора q^2/(2C)
Кинетическая энергия mv^2/2	Энергия магнитного поля катушки Li^2/2
Импульс mv	Поток магнитной индукции Li

 

 

Выведем уравнение свободных незатухающих электромагнитных колебаний в контуре и колебаний горизонтального пружинного маятника. Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, получим равенство: +  , где

, , тогда имеем

(1)

Так как   

и        получаем

 

=const (2)

 

Следует заметить, что уравнение (2) так же следует из закона сохранения энергии. В уравнении (2) i = q ' - мгновенное значение силы тока, q_max - максимальный заряд на конденсаторе (он не должен вызвать пробоя). Делаем вы­вод о зависимости силы тока от величины за­ряда и находим значение максимальной силы тока:

;      Откуда

 

при q=0.

Как видно формально с точки зрения математики уравнения (1) и (2) являются одинаковыми.

Решаем уравнение (2): производная полной энергии по времени равна нулю, так как энергия постоянна.

 Следовательно, равна нулю сумма производных по времени от энергий магнитного и электрического полей.

или

 

                  

(3)

 

Физический смысл уравнения (3) состоит в том, что скорость изменения энергии магнитного поля по модулю равна скорости изменения энергии электрического поля; знак “минус” указывает на то, что, когда энергия электрического поля возрастает, энергия магнитного поля убывает (и наоборот). Поэтому полная энергия не меняется.

Вычисляя обе производные получаем:

 

 

так как , тогда

 

 и

получаем

 

(4)

 

Уравнение (4) является основным уравнением, описывающем процессы в колебательном контуре.

 

Рассмотрим колебания вертикального пружинного и математического маятников.

 

Выведем груз из положения равновесия, рас­тянув пружину на длину Х_m (рис.2) и от­пустим. (Амплитудное растяжение пружины X_m должно быть таково, чтобы был справедлив закон Гука  и выводимая на его основе формула потенциальной энергии пружины.)

 

Рис.2

 Мгновенные значения координаты груза х в процессе колебаний лежат в пределах -x_m£x£x_m. По закону сохраненья энергии имеем:

 

 

  (5)

где X₀= mg/ k - статическое растяжение пру­жины (потенциальную энергию груза в поле силы тяжести отсчитываем от уровня равно­весия груза, обозначенного на рис. 2 пункти­ром). Учитывая, что  и , получим уравнение колебаний

 

 

 

=соnst                    (6)

 

Как видно уравнения колебаний горизонтального и вертикального пружинных маятников одинаковы.

Ускорение свободного падения g, имеющееся в уравнении (5), отсутствует в полученном уравнении колебаний. Следовательно, колеба­ния груза на пружине не зависят от g и оди­наковы, например, на Земле и Луне.

Хотя в дифференциальные уравнения (1) и (6) входят разные величины, математически они эквивалентны.

По аналогии с уравнением (4) описывающем процессы в колебательном контуре, запишем уравнение колебания пружинного маятника:

 

; ;        

получим

 

,            (7)

 

Отклоним теперь математический маятник длиной l (рис. 3) от положения равновесия на длину дуги s_m<<l и отпустим. Мгновен­ная высота подъема маятника

        

рис.3

так как при a<<1 можно считать , а s=la. По закону сохранения энергии имеем:

 

, где

или

=const                             (8)

 

По аналогии с формулами (4) и (7) x®q®s;  ;  получаем:

S``= -  (9)

Различие уравнений (1), (6) и (9) состоит только в обозначениях и физическом смысле входящих в них величин.

Если не предполагать s_m<<l (соответственно a_m= <<1 рад.), то получится слож­ное уравнение, решить которое в рамках школьного курса невозможно. Оно будет опи­сывать колебания, период которых зависит от амплитуды. Строго говоря, период колебаний маятника всегда зависит от a_m, однако при s_m<<l рад. этой зависимостью можно пре­небречь.

Процессы в колебательном контуре станут понятнее учащимся при рассмотрении преобразований энергий, которые происходят при колебаниях, используя таблицу 2.

 

Время	Колебательный контур	Пружинный маятник
	На конденсаторе находится заряд q0; энергия электрического поля Wэ максимальна. Энергия магнитного поля Wм равна нулю ;	Смешение X0 тела от положения равновесия — наибольшее; его потенциальная энергия Wп максимальна, кинетическая Wк равна нулю ;
	При замыкании цепи конденсатор начинает разряжаться через катушку: возникает ток и связанное с ним магнитное поле. Вследствие самоиндукции сила тока нарастает постепенно; энергия электрического поля преобразуется в энергию магнитного поля	Тело приходит в движение, его скорость возрастает постепенно. Потенциальная энергия преобразуется в кинетическую
	Конденсатор разрядился, сила тока I0 максимальна, энергия электрического поля равна нулю, энергия магнитного поля максимальна Wэ=0;	При прохождении положения равновесия скорость v0, тела и его кинетическая энергия максимальны, потенциальная энергия равна нулю Wп=0;
	Вследствие самоиндукции сила тока уменьшается постепенно; на конденсаторе начинает накапливаться заряд и	Тело, достигнув положения равновесия, продолжает движение по инерции с постепенно уменьшающейся скоростью и
	Конденсатор перезарядился; сила тока в цепи равна нулю ; Wм=0	Пружина максимально растянута: скорость тела равна нулю ; Wk=0
	Разрядка конденсатора возобновляется; ток течет в противоположном направлении; сила тока постепенно возрастает	Тело начинает движение в противоположном направлении с постепенно увеличивающейся скоростью
	Конденсатор полностью разрядился; сила тока I0 в цепи максимальна Wэ=0;	Тело проходит положение равновесия, его скорость максимальна Wп=0;
	Вследствие самоиндукции ток продолжает течь в том же направлении, конденсатор начинает заряжаться	По инерции тело движется к крайнему положению
	Конденсатор снова заряжен, ток в цепи отсутствует, состояние контура аналогично первоначальному ; Wм=0	Смещение тела максимально, его скорость равна нулю и состояние аналогично первоначальному ; Wk=0