Алгоритм решения задач на законы Кирхгофа

1. Перед составлением уравнений необходимо произвольно выбрать: а) направление токов на всех участках цепи и указать их стрелками на чертеже; б) направление обхода контуров.

2. При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа надо считать токи, подходящие к узлу, положительными, отходящие от узла, - отрицательными. Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше числа узлов, содержащихся в цепи.

3.При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо соблюдать правило знаков: а) если ток по направлению совпадает с выбранным направлением обхода контура, то соответствующее падение напряжения IR входит в уравнение со знаком плюс. В противном случае произведение IR берется со знаком минус; 3) ЭДС входит в уравнение со знаком плюс, если оно повышает потенциал в направлении обхода контура, т.е двигаясь по контуру, сначала встречаем отрицательный полюс источника тока, затем положительный, в противном случае ЭДС берется со знаком минус.

4. Чтобы все уравнения, составленные на основании второго закона Кирхгофа, были независимыми, необходимо каждый раз рассматривать контуры, содержащие хотя бы одну ветвь, не входящую в уже использованные контуры.

5. Общее число независимых уравнений, составленных по первому и второму закону Кирхгофа, должно быть равно числу токов, текущих в контуре.

6. Для упрощения выкладок, связанных с решением системы уравнений, необходимо предварительно подставить числовые значения всех известных величин.

Если при решении уравнений получены отрицательные значения силы тока или сопротивления, то это означает, что, в действительности, ток через данное сопротивление течет в направлении, противоположном произвольно выбранному.

Примеры решения задач

1.Найти падение напряжения в проводнике, если за время t = 1 мин по нему прошел электрический заряд, равный Q = 80 Кл, а его сопротивление R =1,5Ом.

Дано:

t= 1 мин=60с,

Q= 80 Кл,

R=1,5 Ом.

Найти:

U=?

Решение:

По закону Ома для однородного участка цепи:

Сила тока по определению:

,

Ответ: U=2В

2. Плотность тока в никелиновом проводнике длиной 25 м равна 1 МА/м². Определить разность потенциалов на концах проводника.

Дано:

l =25 м

j =1 МА/м²=10⁶ А/м²

Найти:

U=?

Решение:

Плотность тока по определению

где I - сила тока, S площадь сечение проводника.

По закону Ома

где  - электрическое сопротивление, ρ=0,4·10^-6 Ом·м – удельное сопротивление никелина.

Тогда

.

Ответ: В

3. На баллоне электрической лампы написано 220 В, 100 Вт. Для измерения сопротивления нити накала в холодном состоянии на лампу подали напряжение U = 2 В, при этом сила тока была I = 54 мА. Найти температуру накала T вольфрамовой нити.

Дано:

U₁ = 220 В,

U₂ = 100 Вт,

U = 2 В,

I = 54 мА =54·10^-3А.

Найти:

T=?

Решение:

Зависимость сопротивления от температуры

где α=0,0048К^-1 температурный коэффициент сопротивления.

Мощность лампы

.

По закону Ома

.

,

отсюда

,

,

Ответ: С⁰

4.Две группы из трех последовательно соединенных элементов соединены параллельно. ЭДС ε каждого элемента равна 1,2В, внутреннее сопротивление r =0,2Ом. Полученная батарея замкнута на внешнее сопротивление R =1,5 Ом. Найти силу тока I во внешней цепи.

Дано:

ε = 1,2В,

r=0,2Ом,

R=1,5 Ом,

n=3,

m=2

Найти:

I =?

Решение:

Рисунок 2.35

 

Закон Ома для замкнутой цепи:

,

где I – сила тока, ε – электродвижущая сила, R – внешнее сопротивление, r – внутреннее сопротивление

При последовательном соединении

,

.

При параллельном соединении

,

Тогда для данной цепи закон Ома будет иметь вид:

,

,

                           Ответ:

5. Определить число электронов, проходящих в секунду через единицу площади поперечного сечения железной проволоки длиной 20 м при напряжении на ее концах 16 В.

Дано:

S=1м²,

t=1c,

l =20 м,

U=16 В,

ρ=9,8·10^-8 Ом·м

Найти:

N=?

Решение:

Число электронов

где е =1,6·10^-19 Кл – заряд электрона

Сила тока

где  – сопротивление.

,

Ответ:

6. Найти токи I, в отдельных ветвях мостика Уитстона при условии, что через гальванометр идет ток I _Г = 0. ЭДС элемента ε = 2 В, сопротивления R ₁ = 30 Ом, R ₂ = 45 Ом и R ₃ = 200 Ом

Дано:

I_Г = 0,

ε = 2 В,

R₁ = 30 Ом,

R₂ = 45 Ом,

R₃ = 200 Ом

Найти:

I₁ –?

I₂ –?

I₃ –?

I₄ –?

       Решение

 

                                     Рисунок 2.36                   Рисунок  2.37

Для решения задачи воспользуемся законами Кирхгофа.

Сначала необходимо выбрать (произвольно) направления токов в ветвях. Если мы ошиблись в выборе направления какого–нибудь тока, то в окончательном решении этот ток получится отрицательным, если же случайно выбрано правильное направление тока, то он получится положительным.

Так как I_Г = 0, то потенциалы в точках 1 и 2 одинаковые, следовательно, можно рассматривать упрощенную эквивалентную схему (рис 2.37)

По первому закону Кирхгофа для узла 1 имеем:

                                                                                                              (1)

Применим второй закон Кирхгофа для контуров KLBCMN и KLADMN запишем:

                                                                                                           (2)

                                                                                                               (3)

Поскольку U_AD =U_ВС, а также I₁=I₂, I₃ = I₄, то падения потенциалов на сопротивлениях R₂ и R₄ равны между собой, то

I₁R₂ = I₃R₄                                                                                                                      (4)

Из уравнения (2) находим, что

                                                                                                            (5)

Подставляя числовые данные получим:

.

Из уравнения (3) находим, что

                                                                                                                   (6)

Из уравнения (4) находим, что

                                                                                                                       (7)

Подставляя (5) в (7), получаем

                                                                                                            (8)

Решая совместно уравнения (6) и (8) и учитывая, что I₃ = I₄, окончательно получаем

                                                                                                                (9)

Вычислим:

.

Ответ: , .

7.ЭДС элементов ε₁ =2,1 В и ε₂ = 1,9 В, сопротивления R ₁ = 45 Ом, R ₂ = 10 Ом, R ₃ = 10 Ом. Найти токи I во всех участках цепи.

Дано:

ε₁ =2,1 В,

ε₂ = 1,9 В,

R₁ = 45 Ом,

R₂ = 10 Ом,

R₃ = 10 Ом.

Найти:

I₁ –?

I₂ –?

I₃ –?

Решение

Рисунок 2.38

На рисунке стрелками указано выбранное направление токов. Для узла А согласно первому закону Кирхгофа запишем:

.

для контуров АВС и ACD по второму правилу Кирхгофа имеем:

,

.

Подставляя числовые данные, получим систему уравнений:

,

,

Решая эту систему, получим:

,

,

.

Знак «-» у тока I₂ указывает на то, что его направление противоположно выбранному.

Ответ: , , .

8. Два элемента с одинаковыми ε₁ =ε₂ =2 В и внутренними сопротивлениями r ₁ = 1 Ом и r ₂ = 2 Ом замкнуты на внешнее сопротивление R. Через элемент ЭДС ε₁ течет ток I ₁ = 1 А. Найти сопротивление R и ток I ₂, текущий через элемент с ЭДС ε₂. какой ток I течет через сопротивление R?

Дано:

ε₁ =ε₂ =2 В,

r₁= 1 Ом,

r₂ = 2 Ом,

I₁ = 1 А.

Найти:

I₂ –?

R –?

I –?

Решение

 

Рисунок 2.39

Выберем и рассмотри два контура ABCD и ABMN. Для каждого из них выберем направление обхода. предположительно определим направление токов в каждом из элементов схемы. по второму закону Кирхгофа для контура ABCD имеем:

                                                                                                         (1)

для контура ABMN имеем

                                                                                                              (2)

По первому закону Кирхгофа для узла N имеем

                                                                                                                       (3)

Из уравнения (1) ток

                                                                                                           (4)

Вычислим:

.

Решаем систему уравнений методом подстановки, так как у нас есть три уравнения и три неизвестных. подставим найденное значение тока I₂ в уравнение (3), найдем ток

,

.

Из уравнения (2) сопротивление

.

Вычислим:

.

Ответ: , , .

9. Чему равна сила тока в двигателе насоса, если при КПД 85 % насос ежеминутно подает 200 л воды на высоту 40 м? Напряжение питания двигателя 220 В.

Дано:

η=85%,

t = 1 мин=60 с,

V = 200 л=0,2 м³,

h = 40 м,

U = 220 В.

Найти:

I –?

Решение

КПД насоса

,                                                                                                               (1)

Полезная работа равна изменению потенциальной энергии

                                                                                                      (2)

m – масса воды, g – ускорение свободного падения, h – высота на которую поднимают воду.

Затраченная работа по закону Джоуля – Ленца

                                                                                                         (3)

I – сила тока, U – напряжение, t – время.

Подставим выражения (2) и (3) в (1)

,

отсюда

                                                                                                          (4)

Масса воды

                                                                                                             (5)

где ρ – плотность воды, тогда

,

Вычислим:

Ответ:

10. Электрический камин изготовлен из никелинового провода длиной 50,0 м и сечением 1,4 мм². Определить мощность, потребляемую камином, и стоимость израсходованной за 2 ч энергии, если напряжение в сети 120 В, а тариф 1,24 руб. за 1 кВт∙ч.

Дано:

l = 50,0 м

S = 1,4 мм²=1,4·10^-6м²,

t = 2 ч,

U =120 В

Найти:

N=?

ω=?

Решение:

Мощность потребляемую каминам найдем по формуле:

где R – электрическое сопротивление провода.

где ρ=0,42·10^-6 Ом·м – удельное сопротивление никелина.

,

Стоимость израсходованной за 2 ч энергии

Ответ: ,