Краткие теоретические сведения

Таблица 2.4 – Основные законы и формулы

Физические законы, переменные	Формулы
Закон сохранения электрического заряда q: q1, q2, qn – заряды частиц.
Закон Кулона:  – модули зарядов, ε0 – электрическая постоянная, ε – диэлектрическая проницаемость среды, r – расстояние между зарядами
Напряжённость  электростатического поля: где – сила, с которой поле действует на точечный заряд
Напряжённость электрического поля точечного заряда:
Связь между векторами электрической индукции и напряжённости электрического поля:
Принцип суперпозиции напряжённостей электрических полей:
Потенциал электростатического поля:
Потенциал поля точечного заряда:
Работа сил электрического поля по перемещению заряда q из точки с потенциалом φ1 в точку с потенциалом φ2:
Связь между напряжённостью и потенциалом неоднородного и однородного полей:
Электроёмкость уединённого проводника:
Электроёмкость сферы:
Электроёмкость плоского конденсатора:
Электроёмкость последовательно соединённых конденсаторов:
Электроёмкость параллельно соединённых конденсаторов:
Физические законы, переменные	Формулы
Энергия заряженного конденсатора:
Объёмная плотность энергии электрического поля:

Примеры решения задач

1. Определите силу взаимодействия электрона с ядром в атоме водорода, если расстояние между ними равно 0,5·10^-8см.

Дано:

r = 0,5·10^-8см = 0,5·10^-10м,

q₁ = –1,6·10^-19 Кл,

q₂ = 1,6·10^-19 Кл.

Найти:

F –?

Решение

В ядре атома водорода находится протон, поэтому взаимодействие электрона и протона можно рассматривать, как взаимодействие двух точечных зарядов.

Сила взаимодействия между двумя точечными зарядами определяется по закону Кулона

,

где  – коэффициент пропорциональности, тогда

,

.

Ответ: .

2. Во сколько раз кулоновская сила взаимодействия электрона с ядром в атоме водорода больше силы их гравитационного взаимодействия? Масса электрона , а масса протона . Гравитационная постоянная  

Дано:

,

,

,

q_е = –1,6·10^-19 Кл,

q_р = 1,6·10^-19 Кл.

 

Найти:

 –?

 

Решение

В ядре атома водорода находится протон, поэтому взаимодействие электрона и протона можно рассматривать, как взаимодействие двух точечных зарядов.

Сила взаимодействия между двумя точечными зарядами определяется по закону Кулона:

,

где  – коэффициент пропорциональности.

Гравитационная сила взаимодействия между частицами

,

где  – масса электрона, – масса протона.  – гравитационная постоянная, тогда

,

.

Ответ:

3.Два одинаковых маленьких шарика подвешены на невесомых нитях длиной l = 12 см каждая в одной точке. Когда им сообщили одинаковые заряды Q = 4 нКл, шарики разошлись на угол α = 20⁰. Найти силу натяжения каждой нити, если между шариками находится некоторая среда ε = 7,8.

Дано:

l = 12 см = 0,12 м,

Q = 4 нКл = 4·10^-9 Кл,

α = 20⁰,

ε = 7,8.

Найти:

 -?

Решение

Рисунок 2.32

Сделаем чертеж к задаче. На каждый из отклоненных шариков действуют силы: сила тяжести - , сила натяжения нити и сила взаимодействия (отталкивания) шариков, то есть сила Кулона .

Так как модули сил, действующие на шарики, одинаковы, то более подробно можно рассматривать только один из шариков, например правый (см рис).

Шарики находятся в равновесии под действием приложенных сил, поэтому согласно первому закону Ньютона, запишем это условие равновесия:  - результирующая сила, или

.                                                                                                      (1)

Выберем прямоугольную систему координат, связанную с одним из шариков, и перепишем это уравнение проекциях на оси координат.

Проекции сил на оси

Оy: ,

,                                                                                            (2)

Ох: ,

.                                                                                              (3)

,                                                                                                      (4)

r – расстояние между зарядами, ε – диэлектрическая проницаемость среды, ε₀ – электрическая постоянная, .

Для решения задачи воспользуемся уравнением (3). Из рисунка определим r.

,

отсюда

,                                                                                              (5)

Подставив (4) и (5) в (3) можно вычислить силу натяжения нити

,

отсюда

Ответ: Н.

4.Найти напряженность электрического поля в точке, лежащей посередине между точечными зарядами q₁=18∙10^-9 Кл и q₂=16∙10^-9 Кл. Расстояние между зарядами равно r = 0,2 м.

Дано:

q₁=18∙10^-9 Кл,

q₂=16∙10^-9 Кл,

r = 0,2 м.

Найти:

Е –?

Решение

Рисунок 2.33

 

Для решения задачи воспользуемся формулой напряженности поля точечного заряда (где ε₀ – электрическая постоянная) и принципом суперпозиции, в соответствии с которым, напряженность поля, созданного в данной точке несколькими точечными зарядами, является векторной суммой напряженностей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Каждый из зарядов q₁ и q₂ создает в указанной точке поля с напряженностями  и  соответственно. Векторы напряженности изображены на рисунке

Поскольку векторы напряженности  и направлены в разные стороны, величина напряженности результирующего поля равна

Ответ: .

5. Какую работу совершают силы электрического поля, если одноименные заряды 1 и 2 нКл, находившиеся на расстоянии 1 см, разошлись на расстояние 10 см?

Дано:

q₁ = 1 нКл= 10^-9Кл,

q₂ = 2 нКл =2·10^-9Кл,

r₁ = 1 см= 10^-2м,

r₂ = 10 см = 0,1 м

Найти:

А –?

Решение

Удобно считать один из шариков неподвижным, образующим электрическое поле, а другой движущимся в поле первого шарика.

Пусть заряд q₁ шарика создает поле, тогда шарик с зарядом q₂ движется в этом поле из точки, находящейся на расстоянии r₁ от шарика q₁, в точку, находящуюся на расстоянии r₂ от него.

Работа, совершаемая внешней силой:

,

где φ₁ и φ₂ – потенциалы начальной и конечной точек поля. Поле образовано точечными зарядами, поэтому:

,

,

где , так как ε = 1 – диэлектрическая проницаемость среды, ε₀ = 8,85·10^-12Кл²/Н·м² – электрическая постоянная.

Тогда,

,

Ответ: .

6. Площадь пластин воздушного конденсатора S = 100 см², расстояние между пластинами d = 5 мм. К пластинам приложена разность потенциалов U = 600 В. После отключения питания конденсатор погружают в керосин. Какой стала разность потенциалов между пластинами?

Дано:

S = 100 см² = 100·10^-4м²,

d = 5 мм = 5·10^-3м,

U₁ = 600 В,

ε_к = 2,1.

Найти:

U₂ –?

Решение

Емкость плоского конденсатора

,                                                                                                             (1)

где ε₀ – электрическая постоянная, ε – диэлектрическая проницаемость среды.

С другой стороны, емкость конденсатора, по определению

.                                                                                                                  (2)

Заряд q на обкладках после отключения от источника и погружении конденсатора в керосин не изменится, т.е

,                                                                                                                  (3)

Тогда из формулы (2) получим

,

Отсюда,

,

С учетом (1)

,

.

Ответ:

7. Энергия плоского воздушного конденсатора 0,4 нДж, разность потенциалов на обкладках 600 В, площадь пластин 1 см². Определить расстояние между обкладками, напряженность и объемную плотность энергии поля конденсатора.

Дано:

W=0,4 нДж=0,4·10^-9Дж,

U=600 В,

S=1 см²=10^-4м²

Найти:

d=?

E=?

w=?

Решение:

Энергия плоского конденсатора

Емкость плоского конденсатора

,

где ε₀ – электрическая постоянная, ε – диэлектрическая проницаемость среды.

Тогда

,

отсюда

,

Напряженность поля конденсатора

Объемная плотность энергии поля конденсатора

,

Ответ: м, В/м, Дж/м³