Применение полного факторного эксперимента

Полным факторным экспериментом (ПФЭ) называется эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уровней п независимых управляемых факторов, каждый из которых варьируют на двух уровнях. Число этих комбинаций N=2ⁿ определяет тип ПФЭ. Для упрощения дальнейшее изложение построим на примере планирования типа N=2³, т.е. на примере объекта с тремя (n=3) независимыми управляемыми факторами x₁, х₂, х₃. При планировании эксперимента проводят преобразование размерных управляемых независимых факторов х_i в безразмерные (нормированные)

zi=(xi−xi0)/∆xi

(1)

Это дает возможность легко построить ортогональную матрицу планирования (МП) и значительно облегчает дальнейшие расчеты, так как в этом случае верхние и нижние уровни варьирования z_iв и z_iн в относительных единицах равны соответственно +1 и –1 независимо от физической природы факторов, значений основных уровней x_iв и x_iн и интервалов варьирования факторов ∆х_i.

Например, пусть некоторый входной фактор x_i (допустим, температура) имеет номинальное значение x_io=75⁰C, интервал варьирования ∆x_io=15⁰C. Тогда верхнему уровню варьирования  будет соответствовать, согласно формуле (1), нормированное значение , а нижнему уровню – нормированное значение z_iн=−1.

Если для трехфакторной задачи теоретическое уравнение регрессии относительно нормированных факторов имеет вид:

M

(2)

(т.е. степенями факторов выше первой можно пренебречь), то ПФЭ дает возможность найти раздельные (не смешанные друг с другом) оценки коэффициентов β_i. Так как изменение выходной величины у носит случайный характер, то имеется возможность определить лишь выборочные коэффициенты регрессии b_i, b_il для оценивания теоретических коэффициентов β_i, β_il. Процесс нахождения модели (идентификации) методом ПФЭ состоит из:

1) планирования эксперимента;

2) проведения эксперимента на объекте исследования;

3) проверки воспроизводимости (однородности выборочных дисперсий s_g²) эксперимента;

4) получения математической модели объекта с проверкой статистической значимости оценок выборочных коэффициентов регрессии;

5) проверки адекватности математического описания.

1.1 Составления матрицы планирования

Матрицу планирования ПФЭ для рассматриваемого примера (n= 3) можно представить в виде табл. 1.

Таблица 1 – матрица планирования

g	X0	X1	X2	X3	X1 X2	X1 X3	X2 X3	X1 X2 X3
1	+	-	-	-	+	+	+	-
2	+	+	-	-	-	-	+	+
3	+	-	+	-	-	+	-	+
4	+	+	+	-	+	-	-	-
5	+	-	-	+	+	-	-	+
6	+	+	-	+	-	+	-	-
7	+	-	+	+	-	-	+	-
8	+	+	+	+	+	+	+	+

 

Ее составляют по следующим правилам:

1. Каждая g-я строка матрицы содержит набор координат z_ig точки, в которой проводится g-й опыт (i=1, 2,..., п; g=1, 2,..., N).

 2. Вводят фиктивную переменную z₀= +1 для определения свободного члена b₀ уравнения регрессии.

3. Поскольку переменные z_i принимают лишь значения +1 и –1, все взаимодействия z_iz_l (i, l = 1, 2, 3; i ≠ l) могут принимать только такие же значения.

4. В первой строке (g=1) все управляемые факторы выбирают на нижнем уровне, т.е. z_i=–1. Последующие g-e варианты варьирования при составлении МП выбирают так: при построчном переборе всех вариантов частота смены знака факторов для каждого последующего фактора z_i+1 вдвое меньше, чем для предыдущего z_i (см. табл. 1), т.е. знаки первого столбца чередуются через один, второго – через два, третьего – через четыре.

Три столбца управляемых факторов образуют собственно план эксперимента (выделено в табл. 1), а остальные столбцы МП получаются перемножением соответствующих значений управляемых факторов и необходимы для расчета оценок соответствующих коэффициентов при взаимодействиях. Аналогично могут быть получены планы для сколь угодно большого числа п независимых управляемых факторов.