Определение аналитического выражения функции плотности распределения вероятности

 

По полученным нами значениям и по виду гистограммы и полигона можно выдвинуть гипотезу о том, что вид нашего распределения треугольный. Проверим эту гипотезу также и аналитически, вычислив точки полигона с помощью метода наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов применяется для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений.

Метод наименьших квадратов - простой и быстрый способ получить неизвестные параметры в функциональных зависимостях и оценить их погрешности. Пусть ожидаемая теоретическая зависимость y=f(x), и мы получили ряд значений (x i, f (x i)). Тогда величину ошибки можно оценить как сумму квадратов всех отклонений от теоретической зависимости [12]:

 

, (2.2)

 

где - среднее значение х. Для достижения наилучшей точности эта ошибка должна быть минимальной. Возьмем от полученной суммы по всем параметрам производные и приравняем их к нулю - получим систему уравнений для этих параметров, решениями которой и будут наиболее вероятные их значения. В случае линейной зависимости (а практически любая зависимость может быть линеаризована) имеем:

 

 (2.3)

 

Таким образом, любая функция определяемая методом наименьших квадратов проходит через координаты , , то есть через центр тяжести экспериментальных данных. Коэффициент a определяет наклон искомой зависимости относительно оси аргумента. Метод наименьших квадратов необратен, то есть нельзя менять местами оси. Этот метод очень чувствителен к наличию грубого промаха, если грубый промах не исключить, то погрешность в определении коэффициента будет составлять 96%. Также для нахождения параметров а и b можно по этому методу предварительно вычислить следующие суммы [9]:

 

 (2.4)

 (2.5)

 (2.6)

 (2.7)

 

После этого величины a и b вычисляются по формулам [9]:

 

 (2.8)

 (2.9)

 

Произведя расчеты, получили два уравнения и точки, по которым и построили кривую.

 

)у=133х+11,39 2) у=-133х+73

 

Кривая, найденная аналитически, с небольшим отклонением совпадает с экспериментальной кривой, поэтому можно предположить, что наиболее целесообразно будет доказывать выдвинутую нами гипотезу.

Рисунок 1.3. Наложение аналитически найденного полигона на экспериментальный. 1 - экспериментально найденный полигон частотной гистограммы, 2 - аналитически найденный полигон.

Критерий Пирсона

 

Известен целый ряд критериев согласия. Их используют в качестве способа оценки близости распределения выборки экспериментальных данных к принятой аналитической модели закона распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической проверки. Наибольшее распространение в практике получил критерий Пирсона [13]. Достоинством критерия Пирсона является его универсальность: с его помощью можно проверять гипотезы о различных законах распределения. Идея этого метода состоит в контроле отклонений гистограммы экспериментальных данных от гистограммы с таким же числом интервалов, построенной на основе распределения, совпадение с которым определяется. Использование критерия Пирсона возможно при большом числе измерений (n>50) и заключается в вычислении величины (хи - квадрат) [14]:

, (2.10)

 

где ,  - экспериментальные и теоретические значения частот в i -том интервале разбиения;

m - число интервалов разбиения;

 - значения вероятностей в том же интервале разбиения, соответствующие выбранной модели распределения;

n-сумма экспериментальных значений частот в i -том интервале.

Экспериментальные данные частот даны нам в Таблице 1.3. для того, чтобы вычислить теоретические данные частот , нам нужно рассчитать интегралы от функций на всех интервалах аналитически построенного полигона. Это можно сделать при помощи программы MathCAD. То есть:

 

 

Получим =3,018. Используя функции программы Microsoft Excel можно вычислить таблично значение критерия. Получаем =15,507.

Если вычисленная по опытным данным мера расхождения  меньше определенного из таблицы значения , то гипотеза о совпадении экспериментального и выбранного теоретического распределений принимается [15]. В моем случае < , следовательно, выбранную гипотезу можно принять за верную.

Доверительный интервал

 

Доверительный интервал - это допустимое отклонение наблюдаемых значений от истинных. Размер этого допущения определяется исследователем с учетом требований к точности информации. Если увеличивается допустимая ошибка, размер выборки уменьшается, даже если уровень доверительной вероятности останется равным 95%.

Доверительный интервал показывает, в каком диапазоне расположатся результаты выборочных наблюдений.

Для того, что бы найти доверительный интервал, проводим нормировку наших функций, полученных аналитическим путем [5]:

 

 (2.11)

 

Получаем нормировочный множитель равный 0,075, умножив наши функции на этот множитель, находим доверительный интервал с вероятностью P=0,95:

 

 

Преобразовав, получаем квадратное уравнение:

 

 

Откуда получаем, что Δ=0,244.

Аналогичным образом находим доверительный интервал с вероятностью P=0,9, он будет равен Δ=0,215.

Заключение

 

Итак, подводя итоги, нужно обобщить полученные в ходе работы результаты. Обработав массив данных, мы рассчитали такие значения как:

Таблица 1.4 Полученные результаты

Среднее арифметическое значение	= 0,21
Дисперсия	S2 = 0,00155
Среднеквадратичное отклонение	S = 0,1243
Третий центральный момент	=0,000031
Коэффициент асимметрии	s=0,016
Четвертый центральный момент	=0,00061
Эксцесс	=2,5
Контрэксцесс

 

Также построили гистограмму и полигон данного нам массива и выдвинули гипотезу о виде распределения. В данной работе вид распределения был взят как треугольный симметричный. Проверив выдвинутую нами гипотезу аналитическим методом с помощью метода наименьших квадратов и с помощью критерия согласия, за который взяли критерий Пирсона, мы убедились, что выдвинутая гипотеза верна. Затем нашли доверительный интервал и доказали, что с увеличением значения вероятности доверительный интервал увеличивается, так как при P=0,9 Δ=0,215 а при P=0,95 Δ=0,244.

Список используемой литературы

1. ГОСТ 16263 - 70 ГСИ. Метрология. Термины и определения. - Введен 01.01.2001 взамен ГОСТ 16263-70. - ВНИИКИ Госстандарта России, 2001. - 46 с. - (Действующий стандарт).

2. Сергеев, А. Г. Метрология: история, современность, перспективы: учебное пособие для вузов по направлению «Стандартизация, сертификация и метрология» / А. Г. Сергеев. - М.: Университетская книга: Логос, 2009. - 384

.   Димов, Ю. В. Метрология, стандартизация и сертификация: учебник для вузов / Ю. В. Димов. - 3 - е изд. - СПБ.: Питер, 2010. - 464 с.: ил.

.   Сергеев А. Г. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебное пособие для вузов / А. Г. Сергеев, М. В. Латышев, В. В. Терегея. - М.: Логос, 2005. - 560с.: ил.

.   Радкевич, Я. М. Метрология, стандартизация и сертификация: учебник для вузов / Я. М. Радкевич, А. г. Схиртладзе, Б. И. Лактионов. - 3-е изд. перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2007. - 791 с.: ил.

.   Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов / В. Е. Гмурман. - 12 - е изд., перераб. - М.: Высшее образование, 2006. - 479 с.

.   Дубровский, П. В. Современные методы метрологического обеспечения инновационных и организационно-технических процессов: учебно-методический комплекс / П. В. Дубровский, С. В. Голякова. - Ульяновск: УлГУ, 2006. - 116 с.

.   Кочетков, Е. С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / Е. С. Кочетков, С. О. Смерчинская, В. В. Соколов. - М.: ФОРУМ: ИНФРА - М, 2005. - 240 с.: ил.

.   Булярский, С. В. Метрология: методические указания к выполнению расчетно-графических работ / С.В. Булярский [и др.]. - Ульяновск: УлГУ, 2009. - 92 с.

.   Павлов, С. В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие / С. В. Павлов. - М.: РИОР, 2006. - 186с.

.   Никифоров, А. Д. Метрология, стандартизация и сертификация: учеб. пособие для сред. проф. образования по спец. техн. профиля / А. Д. Никифоров, Т. А. Бакиев. - М.: Высшая школа, 2005. - 422 с.

.   Кошевая, И. П. Метрология, стандартизация, сертификация: учебник для образовательных учреждений сред. профильного образования / И. П. Кошевая, А. А. Канке. - М.: Форум: ИНФРА - М, 2007. - 416 с.

.   Юсупов, Р. А. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для вузов / Р. А. Юсупов. - Астрахань: АГТУ, 2000. - 186 с.

.   Сергеев, А.Г. Метрология. Карманная энциклопедия студента: Учебное пособие для студентов высших и средних специальных заведений / А. Г. Сергеев, В. В. Крохин. - М.: Логос, 2001.- 376с.: ил.

.   Сергеев, А. Г. Метрология: учебник / А. Г. Сергеев. - М.: Логос, 2004. - 288 с.: ил.