Глава 1. Определение оценок основных характеристик

Введение

 

Измерения - один из важнейших путей познания природы, дают количественную характеристику окружающего нас мира. Круг величин, подлежащих измерению, определяется разнообразием явлений, с которыми приходится сталкиваться человеку. Сравнение опытным путем измеряемой величины с другой, подобной ей, принятой за единицу, составляет общую основу любых измерений. Измерения проводятся для достижения некоторого конечного результата в соответствии с поставленной задачей. Все отрасли техники не могли бы существовать без развернутой системы измерений, определяющих как все технологические процессы, контроль и управление ими, так и свойства и качество выпускаемой продукций. Значительное повышение точности измерений неоднократно являлось основной предпосылкой фундаментальных научных открытий.

Разделом науки, изучающим измерения, является метрология. Если перевести буквально, то метрология - это учение о мерах, а определение, данное в [1], гласит, что метрология - наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности. Решение многих задач метрологии является важной государственной задачей. Главные задачи метрологии по обеспечению единства измерений и способов достижения требуемых точностей непосредственно связаны с проблемами взаимозаменяемости как одного из важнейших показателей качества современных изделий [2]. Единство измерений - состояние измерений, при котором их результаты выражены в узаконенных единицах и погрешности известны с заданной вероятностью [3]. Единство измерений необходимо для того, чтобы можно было сопоставить результаты измерений, выполненных в разное время, с использованием различны методов и средств измерений, а также в различных по территориальному расположению местах. Результат измерения - значение физической величины, найденное путем ее измерения. Физическая величина это характеристика одного из свойств физического объекта (явления или процесса), общая в качественном отношении многим физическим объектам, но в количественном отношении индивидуальная для каждого объекта [4]. Сотрудничество с другими странами, совместная разработка научно-технических программ требуют взаимного доверия к измерительной информации. Высокое качество информации, ее точность и достоверность имеют первостепенное значение, также как и единообразие принципов и способов оценки точности результатов измерений.

При проведении любых измерений, независимо от условий, в которых они проводятся, появляются погрешности, искажающие представление о действительном значении измеряемой величины. Разделение погрешности на случайную и систематическую и построенные на таком разделении методы ее описания стали подвергаться критике: эти представления перестали удовлетворять требованиям, предъявляемыми задачами, решаемыми метрологией [2]. Это привело к возникновению различных инициатив, направленных на решение возникшей проблемы. Одним из решений стала концепция представления результатов измерений, развиваемая по инициативе международных метрологических организаций. Суть ее состоит в том, что обработка результатов измерений во всех странах проводится с использованием аппарата теории вероятностей и математической статистики.

Использование на практике вероятностного подхода к оценке погрешностей результатов измерений, прежде всего, предполагает знание аналитической модели закона распределения рассматриваемой погрешности [5]. Практически везде погрешности разделяют на случайные и систематические. Систематическая погрешность считается специфической, «вырожденной» случайной величиной, обладающей некоторыми, но не всеми свойствами случайной величины, изучаемой в теории вероятностей и математической статистике. Постоянные систематические погрешности не устраняются путем многократных измерений, они могут быть обнаружены только при сравнении результатов с другими, полученными с помощью более высокоточных методов и средств.

Случайные погрешности представляют собой погрешности, в которых нет определенной закономерности. Они неизбежны и неустранимы и всегда имеются в результате измерения. Наиболее универсальным способом описания поведения результатов измерений и случайных погрешностей является отыскание их интегральных и дифференциальных функций распределения. Причем в метрологии в основном используют дифференциальную форму - закон распределения плотности вероятности случайной величины [6]:

  (1)

 

Она неотрицательна и подчиняется условию нормировки [6]:

 

 (2)

 

Интегральный закон распределения случайной величины представляет собой функцию F(x), определяемую формулой [6]:

 

 (3)

 

Используемые в метрологии законы распределения случайных величин можно классифицировать следующим образом [4]:

· Трапецеидальные

·   Уплощенные

·   Экспоненциальные

·   Семейство распределений Стъюдента

·   Двухмодальные

В большинстве случаев для описания поведения измерений бывает достаточно охарактеризовать случайные величины с помощью ограниченного числа случайных параметров, основными из них являются:

· центр распределения

·   начальные и центральные моменты и производные от них коэффициенты - математическое ожидание, дисперсия, эксцесс, контрэксцесс и коэффициент асимметрии.

Целью данной работы является определение с помощью многократного измерения наиболее эффективной оценки характеристики положения закона распределения вероятности, идентифицируемой со значением измеряемой безразмерной величины. Для достижения поставленной цели нужно выполнить такие задачи как:

1. Обработать массив экспериментальных данных.

2. Выдвинуть гипотезу о законе распределения вероятности экспериментальных данных.

3. Проверить правдоподобие выдвинутой гипотезы с помощью критерия согласия.

4. Выбрать характеристику положения закона распределения вероятности, определить ее оценку, закон изменения ее доверительных интервалов и записать результат многократного измерения.

Построение гистограммы

 

Гистограмма - графическое изображение зависимости частоты попадания элементов выборки от соответствующего интервала группировки. Гистограмма представляет собой столбчатый график, построенный по полученным за определенный период данным, которые разбиваются на несколько интервалов. Для того что бы построить гистограмму необходимо выбрать число интервалов так, чтобы это было достаточно оптимально. Если число интервалов, в которые попадают наши данные, будет излишне велико, то гистограмма будет отличаться от плавной кривой многими всплесками и впадинами, а некоторые интервалы могут оказаться пустыми. Если количество интервалов будет слишком мало, то существует риск пропустить существенные изменения графика, увеличив тем самым возможность ошибки при определении распределения.

Количество интервалов гистограммы определяем по таблице [11]:

Таблица 1.2 Определение количества интервалов

Число отсчетов	Рекомендуемое число интервалов
40-100	7-9
101-500	8-12
501-1000	10-16
1001-10000	12-22

 

Ширина интервала определяется по формуле:

 

 , (2.1)

где - максимальное значение

- минимальное значение

r - количество интервалов

Берем количество интервалов r =11, тогда получаем, что ширина интервала будет равна h=0,056.

Используя возможности программы Microsoft Excel, строим гистограмму:

 

Рисунок 1.1. Гистограмма.

 

После гистограммы строим полигон. Полигон представляет собой ломаную кривую, соединяющую середины верхних оснований каждого столбца гистограммы. Он более наглядно отражает форму кривой распределения в отличие от гистограммы:

Рисунок 1.2. Полигон частотной гистограммы для 11 значений.

 

При построении гистограммы составляем таблицу попадания значений в интервалы.

Таблица 1.3 Данные гистограммы.

Карман	Частота
-0,1-(-0,044)	4
-0,044-0,012	14
0,012-0,068	16
0,068-0,124	29
0,124-0,18	38
0,18-0,236	41
0,236-0,292	37
0,292-0,348	25
0,348-0,404	21
0,404-0,46	11
0,460,52	4

 

Критерий Пирсона

 

Известен целый ряд критериев согласия. Их используют в качестве способа оценки близости распределения выборки экспериментальных данных к принятой аналитической модели закона распределения. Во многих практических задачах точный закон распределения неизвестен, то есть является гипотезой, которая требует статистической проверки. Наибольшее распространение в практике получил критерий Пирсона [13]. Достоинством критерия Пирсона является его универсальность: с его помощью можно проверять гипотезы о различных законах распределения. Идея этого метода состоит в контроле отклонений гистограммы экспериментальных данных от гистограммы с таким же числом интервалов, построенной на основе распределения, совпадение с которым определяется. Использование критерия Пирсона возможно при большом числе измерений (n>50) и заключается в вычислении величины (хи - квадрат) [14]:

, (2.10)

 

где ,  - экспериментальные и теоретические значения частот в i -том интервале разбиения;

m - число интервалов разбиения;

 - значения вероятностей в том же интервале разбиения, соответствующие выбранной модели распределения;

n-сумма экспериментальных значений частот в i -том интервале.

Экспериментальные данные частот даны нам в Таблице 1.3. для того, чтобы вычислить теоретические данные частот , нам нужно рассчитать интегралы от функций на всех интервалах аналитически построенного полигона. Это можно сделать при помощи программы MathCAD. То есть:

 

 

Получим =3,018. Используя функции программы Microsoft Excel можно вычислить таблично значение критерия. Получаем =15,507.

Если вычисленная по опытным данным мера расхождения  меньше определенного из таблицы значения , то гипотеза о совпадении экспериментального и выбранного теоретического распределений принимается [15]. В моем случае < , следовательно, выбранную гипотезу можно принять за верную.

Доверительный интервал

 

Доверительный интервал - это допустимое отклонение наблюдаемых значений от истинных. Размер этого допущения определяется исследователем с учетом требований к точности информации. Если увеличивается допустимая ошибка, размер выборки уменьшается, даже если уровень доверительной вероятности останется равным 95%.

Доверительный интервал показывает, в каком диапазоне расположатся результаты выборочных наблюдений.

Для того, что бы найти доверительный интервал, проводим нормировку наших функций, полученных аналитическим путем [5]:

 

 (2.11)

 

Получаем нормировочный множитель равный 0,075, умножив наши функции на этот множитель, находим доверительный интервал с вероятностью P=0,95:

 

 

Преобразовав, получаем квадратное уравнение:

 

 

Откуда получаем, что Δ=0,244.

Аналогичным образом находим доверительный интервал с вероятностью P=0,9, он будет равен Δ=0,215.

Заключение

 

Итак, подводя итоги, нужно обобщить полученные в ходе работы результаты. Обработав массив данных, мы рассчитали такие значения как:

Таблица 1.4 Полученные результаты

Среднее арифметическое значение	= 0,21
Дисперсия	S2 = 0,00155
Среднеквадратичное отклонение	S = 0,1243
Третий центральный момент	=0,000031
Коэффициент асимметрии	s=0,016
Четвертый центральный момент	=0,00061
Эксцесс	=2,5
Контрэксцесс

 

Также построили гистограмму и полигон данного нам массива и выдвинули гипотезу о виде распределения. В данной работе вид распределения был взят как треугольный симметричный. Проверив выдвинутую нами гипотезу аналитическим методом с помощью метода наименьших квадратов и с помощью критерия согласия, за который взяли критерий Пирсона, мы убедились, что выдвинутая гипотеза верна. Затем нашли доверительный интервал и доказали, что с увеличением значения вероятности доверительный интервал увеличивается, так как при P=0,9 Δ=0,215 а при P=0,95 Δ=0,244.

Список используемой литературы

1. ГОСТ 16263 - 70 ГСИ. Метрология. Термины и определения. - Введен 01.01.2001 взамен ГОСТ 16263-70. - ВНИИКИ Госстандарта России, 2001. - 46 с. - (Действующий стандарт).

2. Сергеев, А. Г. Метрология: история, современность, перспективы: учебное пособие для вузов по направлению «Стандартизация, сертификация и метрология» / А. Г. Сергеев. - М.: Университетская книга: Логос, 2009. - 384

.   Димов, Ю. В. Метрология, стандартизация и сертификация: учебник для вузов / Ю. В. Димов. - 3 - е изд. - СПБ.: Питер, 2010. - 464 с.: ил.

.   Сергеев А. Г. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебное пособие для вузов / А. Г. Сергеев, М. В. Латышев, В. В. Терегея. - М.: Логос, 2005. - 560с.: ил.

.   Радкевич, Я. М. Метрология, стандартизация и сертификация: учебник для вузов / Я. М. Радкевич, А. г. Схиртладзе, Б. И. Лактионов. - 3-е изд. перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2007. - 791 с.: ил.

.   Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для вузов / В. Е. Гмурман. - 12 - е изд., перераб. - М.: Высшее образование, 2006. - 479 с.

.   Дубровский, П. В. Современные методы метрологического обеспечения инновационных и организационно-технических процессов: учебно-методический комплекс / П. В. Дубровский, С. В. Голякова. - Ульяновск: УлГУ, 2006. - 116 с.

.   Кочетков, Е. С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / Е. С. Кочетков, С. О. Смерчинская, В. В. Соколов. - М.: ФОРУМ: ИНФРА - М, 2005. - 240 с.: ил.

.   Булярский, С. В. Метрология: методические указания к выполнению расчетно-графических работ / С.В. Булярский [и др.]. - Ульяновск: УлГУ, 2009. - 92 с.

.   Павлов, С. В. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие / С. В. Павлов. - М.: РИОР, 2006. - 186с.

.   Никифоров, А. Д. Метрология, стандартизация и сертификация: учеб. пособие для сред. проф. образования по спец. техн. профиля / А. Д. Никифоров, Т. А. Бакиев. - М.: Высшая школа, 2005. - 422 с.

.   Кошевая, И. П. Метрология, стандартизация, сертификация: учебник для образовательных учреждений сред. профильного образования / И. П. Кошевая, А. А. Канке. - М.: Форум: ИНФРА - М, 2007. - 416 с.

.   Юсупов, Р. А. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для вузов / Р. А. Юсупов. - Астрахань: АГТУ, 2000. - 186 с.

.   Сергеев, А.Г. Метрология. Карманная энциклопедия студента: Учебное пособие для студентов высших и средних специальных заведений / А. Г. Сергеев, В. В. Крохин. - М.: Логос, 2001.- 376с.: ил.

.   Сергеев, А. Г. Метрология: учебник / А. Г. Сергеев. - М.: Логос, 2004. - 288 с.: ил.

Введение

 

Измерения - один из важнейших путей познания природы, дают количественную характеристику окружающего нас мира. Круг величин, подлежащих измерению, определяется разнообразием явлений, с которыми приходится сталкиваться человеку. Сравнение опытным путем измеряемой величины с другой, подобной ей, принятой за единицу, составляет общую основу любых измерений. Измерения проводятся для достижения некоторого конечного результата в соответствии с поставленной задачей. Все отрасли техники не могли бы существовать без развернутой системы измерений, определяющих как все технологические процессы, контроль и управление ими, так и свойства и качество выпускаемой продукций. Значительное повышение точности измерений неоднократно являлось основной предпосылкой фундаментальных научных открытий.

Разделом науки, изучающим измерения, является метрология. Если перевести буквально, то метрология - это учение о мерах, а определение, данное в [1], гласит, что метрология - наука об измерениях, методах и средствах обеспечения их единства и способах достижения требуемой точности. Решение многих задач метрологии является важной государственной задачей. Главные задачи метрологии по обеспечению единства измерений и способов достижения требуемых точностей непосредственно связаны с проблемами взаимозаменяемости как одного из важнейших показателей качества современных изделий [2]. Единство измерений - состояние измерений, при котором их результаты выражены в узаконенных единицах и погрешности известны с заданной вероятностью [3]. Единство измерений необходимо для того, чтобы можно было сопоставить результаты измерений, выполненных в разное время, с использованием различны методов и средств измерений, а также в различных по территориальному расположению местах. Результат измерения - значение физической величины, найденное путем ее измерения. Физическая величина это характеристика одного из свойств физического объекта (явления или процесса), общая в качественном отношении многим физическим объектам, но в количественном отношении индивидуальная для каждого объекта [4]. Сотрудничество с другими странами, совместная разработка научно-технических программ требуют взаимного доверия к измерительной информации. Высокое качество информации, ее точность и достоверность имеют первостепенное значение, также как и единообразие принципов и способов оценки точности результатов измерений.

При проведении любых измерений, независимо от условий, в которых они проводятся, появляются погрешности, искажающие представление о действительном значении измеряемой величины. Разделение погрешности на случайную и систематическую и построенные на таком разделении методы ее описания стали подвергаться критике: эти представления перестали удовлетворять требованиям, предъявляемыми задачами, решаемыми метрологией [2]. Это привело к возникновению различных инициатив, направленных на решение возникшей проблемы. Одним из решений стала концепция представления результатов измерений, развиваемая по инициативе международных метрологических организаций. Суть ее состоит в том, что обработка результатов измерений во всех странах проводится с использованием аппарата теории вероятностей и математической статистики.

Использование на практике вероятностного подхода к оценке погрешностей результатов измерений, прежде всего, предполагает знание аналитической модели закона распределения рассматриваемой погрешности [5]. Практически везде погрешности разделяют на случайные и систематические. Систематическая погрешность считается специфической, «вырожденной» случайной величиной, обладающей некоторыми, но не всеми свойствами случайной величины, изучаемой в теории вероятностей и математической статистике. Постоянные систематические погрешности не устраняются путем многократных измерений, они могут быть обнаружены только при сравнении результатов с другими, полученными с помощью более высокоточных методов и средств.

Случайные погрешности представляют собой погрешности, в которых нет определенной закономерности. Они неизбежны и неустранимы и всегда имеются в результате измерения. Наиболее универсальным способом описания поведения результатов измерений и случайных погрешностей является отыскание их интегральных и дифференциальных функций распределения. Причем в метрологии в основном используют дифференциальную форму - закон распределения плотности вероятности случайной величины [6]:

  (1)

 

Она неотрицательна и подчиняется условию нормировки [6]:

 

 (2)

 

Интегральный закон распределения случайной величины представляет собой функцию F(x), определяемую формулой [6]:

 

 (3)

 

Используемые в метрологии законы распределения случайных величин можно классифицировать следующим образом [4]:

· Трапецеидальные

·   Уплощенные

·   Экспоненциальные

·   Семейство распределений Стъюдента

·   Двухмодальные

В большинстве случаев для описания поведения измерений бывает достаточно охарактеризовать случайные величины с помощью ограниченного числа случайных параметров, основными из них являются:

· центр распределения

·   начальные и центральные моменты и производные от них коэффициенты - математическое ожидание, дисперсия, эксцесс, контрэксцесс и коэффициент асимметрии.

Целью данной работы является определение с помощью многократного измерения наиболее эффективной оценки характеристики положения закона распределения вероятности, идентифицируемой со значением измеряемой безразмерной величины. Для достижения поставленной цели нужно выполнить такие задачи как:

1. Обработать массив экспериментальных данных.

2. Выдвинуть гипотезу о законе распределения вероятности экспериментальных данных.

3. Проверить правдоподобие выдвинутой гипотезы с помощью критерия согласия.

4. Выбрать характеристику положения закона распределения вероятности, определить ее оценку, закон изменения ее доверительных интервалов и записать результат многократного измерения.

Глава 1. Определение оценок основных характеристик

 

В данной курсовой работе обрабатывается массив экспериментальных данных.

Таблица 1.1 Массив данных

Х	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	0,3	0,25	-0,03	0,31	0,19	0,09	0,17	0,28	0	0,18
2	0,21	0,29	0,06	0,15	0,04	0,13	0,22	0,36	0,2	0,32
3	-0,06	0,31	0,2	0,24	0,37	0,16	0,12	0,26	0,34	0,3
4	0,23	0,08	0,26	0,27	0,21	0,14	0,06	0,23	0,11	0,38
5	0,02	0,15	0,19	0,09	0,28	0,32	0,19	0,27	0,33	0,12
6	0,28	0,21	0,3	0,24	0,29	0,1	0,35	0,18	0,07	0,22
7	0,18	0,37	0,12	0,13	0,22	0,33	0,24	0,31	0,25	0,05
8	0,22	0,14	0,23	0,11	0,03	0,17	0,38	0,15	0,41	0,19
9	0,4	0,16	0,2	0,1	0,25	0,08	0,21	0,32	0,23	0,36
10	0,19	0,33	0,13	0,07	0,09	0,18	0,34	0,04	0,13	0,28
11	0,05	0,23	0,3	0,22	0,16	0,31	0,26	0,29	0,21	0,06
12	0,24	0,11	0,27	0,17	0,27	0,2	0,14	0,37	0,1	0,4
13	0,43	0,25	0,52	0,07	0,23	0,35	0,32	0,16	0,15	0,2
14	-0,02	0,17	0,42	0,12	0,03	0,25	0,3	0,23	0,24	0,01
15	0,2	0	0,19	0,26	0,36	0,18	-0,01	0,13	0,02	0,39
16	0,44	0,1	0,01	0,14	0,17	0,33	0,05	0,22	0,08	-0,05
17	0,35	0,26	0,39	0,21	0,09	0,25	0,29	0,44	0,14	0,43
18	0,45	0,22	0,11	0,16	0,24	0,31	0,12	0,28	0,49	0,24
19	0,37	0,25	0,5	0,46	0,06	0,22	0,42	0,21	0,15	-0,1
20	0,39	0,47	0,2	0,18	0,4	0,17	0,33	0,14	0,03	0,11
21	0,23	-0,04	0,35	-0,08	0,19	0,04	0,26	0,34	0,2	-0,03
22	0,43	0,37	0,16	0,13	0,3	0,1	-0,01	0,18	0,08	0,36
23	0,2	0,14	0,21	0,01	0,11	0,22	0,32	0,38	0,05	0,31
24	0,41	0,27	0,06	0,24	0,09	0,12	0,29	0,19	0,28	0,1