Тема: подобие треугольников.

Теоретическая часть

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

D

BC

A

KLM Теорема о пропорциональных отрезках. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, то отрезки образованные на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшемся на другой стороне угла.

Т.е. если BK || CL || DM, то .

Определение. Два треугольника называются подобным, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника.

 

Признаки подобия треугольников

I признак По двум равным углам	II признак По двум сторонам (пропорциональным) и углу (равному) между ними	III признак По трём сторонам (пропорциональным)
≈	≈	≈

Практическая часть

1. Начертите произвольный отрезок и разделите его на семь равных ча­стей.

2. На рисунке 1 ВD || СЕ, АВ =16 см, ВС = 6 см, АD = 8 см. Найдите отрезок DЕ.

B 6 C

16

A рис.1

8 D E

3. Прямая, парaллельнаястороне ВС тре­угольника АВС, пересекает его сторо­ну АВ в точке М, а сторону АС -в точ­ке К. АМ = 9 см, ВМ = 6 см, КС = 8 см.Найдите отрезок АК.

4. Стороны МК и DЕ КТ и EF — соответственные стороны подобных треугольников МКТ и DEF, МК = 18 см, КТ = 16 см, МТ = 28 см, МК: DЕ =4:5. Найдите стороны треугольника DЕF.

5. На стороне СD параллелограмма АВСD отмечена точка Е, прямые ВЕ и АD пересекаются в точке F, СЕ = 8см, DE = 4см, ВЕ = 10см, АD = 9см. Найдите длину отрезков EF и FD.

BC

E

А DF

D

6. Угол между боковой стороной и основанием одного равнобедренно­го треугольника равен углу между боковой стороной и основанием другого равнобедренного треугольника. Боковая сторона и основа­ние первого треугольника равны 18 см и 10 см соответственно, а ос­нование второго — 8 см. Найдите боковую сторону второго тре­угольника.

 

7. Стороны параллелограмма равны 20 см и 14 см, высота, проведённая к большей стороне, равна 7 см. Найдите высоту параллелограмма, проведённую к меньшей стороне.

DE

BC

5 4

А

8..Известно, что ВС перпендикулярно АЕ, ВА = 5, АС = 4, СЕ = 6.Найдите DE?

 

9.Отрезки АВ и СD пересекаются в точ­ке О, АО = 24 см, ВО = 16 см, СО = 15 см, ОD= 10 см, <АСО = 72°.Найдите <ВDО.

C В

O

AD

10. На сторонах АС и ВС треугольни­ка АВС отметили соответственно точ­ки М и К так, что СМ = 15 см, СК -12 см. Найдите МК, если АС = 20 см, ВС = 25 см, АВ = 30 см.

 

В

D

 

 

А С

11. ΔАВС, ΔАВD, ΔАDC – прямоугольные. Докажите, что ΔАВС ≈ ΔАВD ≈ ΔАDC.

Тема: Cоотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Теоретическая часть

α

Теорема Пифагора. Основное тригонометрическое тождество:

а^2 + b^2 = c^2

+ = 1.

c

b

a = , = , = =

Таблица значений синуса, косинуса и тангенса.

	α = 0°	α = 30°	α = 45°	α = 60°	α = 90°
					не сущ.

Практическая часть

 

1. Сторона прямоугольника равна 8см, а диагональ – 10см. Найдите соседнюю к исходной сторону прямоугольника.

Замечание: Треугольник с соотношением сторон 3: 4: 5 называется египетским.

 

2. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 35см, а его основание – 24см. Чему равна боковая сторона треугольника?

 

3. Сторона ромба равна 26см, а одна из диагоналей - 48см. Найдите другую диагональ ромба.

 

4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 15см, а катеты относятся 4: 3. Найдите катеты этого треугольника.

 

5. В ΔАВС известно, что АВ = 17см, ВС = 9см, <С – тупой, высота АD = 8cм. Найдите сторону АС.

 

6. Найдите диагональ квадрата со стороной а.

 

7. Катеты прямоугольного треугольника равны 3см и 2см. Найдите:

А) тангенс угла, прилежащего к большему катету;

Б) синус угла, противолежащего меньшему катету;

В) косинус угла, прилежащего к большему катету;

 

8. Найдите значение выражения: - .

 

9. В ΔАВС известно, что<С = 90°, ВС = 41см, АС = 20см. Найдите косинусы острых углов треугольника.

 

10. Найдите , , если = .

 

11. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17см, а высота, проведённая к основанию - 8см. Найдите синус, косинус и тангенс угла при основании треугольника.

 

12. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10см, а косинус одного из острых углов равен 0,8. Найдите катеты треугольника.

13. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 12 см, а тан­генс прилежащего угла —

0,75. Найдите второй катет и гипотенузу треугольника.

 

14. Какой должна быть пожарная лестница, чтобы по ней можно было подняться на крышу дома, высотой 9м, если ставить ее под углом 60° к поверхности земли?

 

15. Основания равнобедренной трапеции равны 8 см и 12 см, а угол при осно­вании - 45°. Найдите высоту и боковую сторону трапеции.

Список литературы.

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра 7. – М. «Просвещение» 2010.

2. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра 8. – М. «Просвещение» 2010.

3. Атанасян Л.С. Геометрия 7 – 9. М. «Просвещение» 2010.

4. Мерзляк Г.А. Геометрия 7.-М. «Вентана-Граф» 2013.

5. Мерзляк Г.А. Геометрия 8.-М. «Вентана-Граф» 2013.

6. Мерзляк Г.А. Сборник задач и заданий для тематического оценивания по алгебре для 7 класса. Харьков. «Гимназия» 2010.

7. Мерзляк Г.А. Сборник задач и заданий для тематического оценивания по геометрии для 7 класса. Харьков. «Гимназия» 2010.

8. Мерзляк Г.А. Сборник задач и заданий для тематического оценивания по алгебре для 8 класса. Харьков. «Гимназия» 2010.

9. Мерзляк Г.А. Сборник задач и заданий для тематического оценивания по геометрии для 8 класса. Харьков. «Гимназия» 2010.