Тема: Побудова напівправильних многранників методом трансформації граней

Завдання 8.1. Скласти алгоритм для побудови кубоктаедра (рис.8.5) з допомогою трансформації трикутних та квадратних граней. Передбачити виведення чотирьох проекцій (використати проект із завдання 5.1).

 

Г14 (8 r+6 c) В12 Р24 Оточення вершини r c r c

Рис.8.5. Кубоктаедр

 

Координати вершин кубоктаедра з довжиною ребра а=√2 і центром в початку координат (±1,±1, 0), (±1, 0,±1), (0,±1,±1).

Завдання 8.2. Скласти алгоритм для побудови зрізаного куба (рис.8.6) з допомогою трансформації трикутних та восьмикутних граней. Передбачити виведення чотирьох проекцій.

 

Г14 (8r+6 прав.8-кутн.) В24 Р36 Оточення вершини 3, 8, 8

Рис.8.6. Зрізаний куб.

Координати вершин зрізаного куба з довжиною ребра а=2ξ (ξ = √2 -1) і центром в початку координат

(±ξ, ±1, ±1), (±1, ±ξ, ±1), (±1, ±1, ±ξ).

Завдання 8.3. Скласти алгоритм для побудови зрізаного октаедра (рис.8.7) з допомогою трансформації квадратних та шестикутних граней. Передбачити виведення чотирьох проекцій.

Г14 (6 c +8 прав6кутн) В24 Р36 Оточення вершини 4, 6, 6

Рис.8.7. Зрізаний октаедр.

Координати вершин зрізаного октаедра з довжиною ребра а= √ 2 і центром в початку координат всі перестановки чисел

(0, ±1, ±2).

Вершини зрізаного октаедра утворюють 12 прямокутників, довші сторонних яких паралельні осям координат.

Завдання 8.4. Скласти алгоритм для побудови зрізаного тетраедра (рис.8.8) з допомогою трансформації трикутних та шестикутних граней. Передбачити виведення чотирьох проекцій.

Г8 (4r+4 прав6кутн) В12 Р18 Оточення вершини 3, 6, 6

Рис.8.8. Зрізаний тетраедр.

 

Координати вершин зрізаного тетраедра з довжиною ребра а= √8 і центром в початку координат

(+3,+1,+1), (+1,+3,+1), (+1,+1,+3), (−3,−1,+1), (−1,−3,+1), (−1,−1,+3),

(−3,+1,−1), (−1,+3,−1), (−1,+1,−3), (+3,−1,−1), (+1,−3,−1), (+1,−1,−3).

Завдання 8.5. Скласти алгоритм для побудови заломленого куба – тіла Каталана, двоїстого до зрізаного октаедра (рис.8.9) з допомогою трансформації трикутних граней.

 

Г24 (рівнобедрені r) В14 Р36 Оточення вершини 3, 6, 6

Рис.8.9. Заломлений куб.

Завдання 8.6. Скласти програму для одночасного виведення октаедра та кубоктаедра.

Завдання 8.7. Скласти програму для одночасного виведення куба та зрізаного куба.

Завдання 8.8. Скласти програму для одночасного виведення октаедра та зрізаного октаедра.

Завдання 8.9. Скласти програму для одночасного виведення тетраедра та зрізаного тетраедра.

Завдання для самостійної роботи

Завдання 8.10. Скласти програму для побудови зображення ікосідодекаедра (рис.8.2) методом трансформації граней.

Завдання 8.11. Скласти програму для побудови зображення зрізаного ікосаедра (рис.8.2).

Рис.8.10.Кубо- Рис.8.11. Окта- Рис.8.12. Малий Рис.8.13.Малий

хеміооктаедр хеміооктаедр кубікубоктаедр. ромбігексаедр.

Завдання 8.12. Змінивши порядок з’єднання вершин тіл Архімеда, можна одержати неопуклі многогогранники (рис.8.10-8.13). Скласти алгоритм побудови для одного з таких многогранників методом трансформації групи граней.

Рис.8.14. Рис.8.15. Рис.8.16.

Завдання 8.13. Побудувати для одного з тіл Архімеда каркасну модель з вкладеними тетраедрами та пірамідами (рис.8.14-8.16).

Завдання 8.14. Скласти програму для динамічного перетворення (морфінгу) куба в октаедр (рис.8.1).

Завдання 8.15. Скласти програму для демонстрації перетворення (морфінгу) ікосаедра в додекаедр через тіла Архімеда (рис.8.2).

Контрольні запитання

1. Які многогранники називають тілами Архімеда?

2. Які геометричні властивості тіл Архімеда?

3. Чи виконується для тіл Архімеда рівність Ейлера Г+В=Р+2?

4. Чому серед тіл Платона і Архімеда немає неопуклих многогранників?

5. Як пов’язані геометричні параметри тіл Архімеда і Каталана?

6. Які многогранники є двоїстими до тіл Платона?

7. Як можна використати симетричність многогранника в алгоритмі його побудови?

8. Чому стандартні фігури прийнято будувати з центром в початку координат?

9. Якими правильними многогранниками можна щільно замостити (заповнити) тривимірний простір?

10. Якими напівправильними многогранниками можна щільно замостити (заповнити) тривимірний простір?

РОЗДІЛ 9

ЗІРЧАСТІ МНОГОГРАННИКИ

Зірчастий многогранник (зірчасте тіло) – неопуклий многогранник, грані якого перетинаються між собою. При цьому внутрішні лінії перетину не вважаються ребрами.

Зірчастою формою многогранника називаеться многогранник, одержаний шляхом продовження граней даного многогранника через ребра до їх перетину з іншими гранями.

Правильні зірчасті многогранники – зірчасті многогранники, гранями яких є одинакові правильні чи зірчасті многокутники. Коші довів, що існує лише чотири правильних зірчастих тіла, які не є об’єднаннями платонових і зірчастих тіл. Їх називають тілами Кеплера-Пуансо (рис.9.1): всі 3 зірчасті форми додекаедра і одна з зірчастих форм ікосаедра. Інші правильні зірчасті многогранники є об’єднаннями тіл Платона чи тіл Кеплера-Пуансо.

Рис 9.1. Тіла Кеплера-Пуансо.

Тетраедр і куб не мають зірчастих форм, бо їх грані при продовженні не перетинаються.

Октаедр має тільки одну зірчасту форму (рис.9.2), відкриту Леонардо да Вінчі, потім перевідкриту Йоганном Кеплером і названу Stella octangula (зірка восьмикутна).

Вона є об’єднанням двох тетраедрів. Рис. 9.2.

Приклад 9.1. Процедура побудови зірчастого октаедра (рис.9.2).

procedure StellaOctangula;

begin glPushMatrix; DrawSolidTetrahedron;

glScale(-1,-1,-1); DrawSolidTetrahedron;

glPopMatrix end;

Додекаедр має 3 зірчасті форми (рис.9.1): малий зірчастий додекаедр, великий додекаедр, великий зірчастий додекаедр.

Ікосаедр має 59 зірчастих форм. Одна з них називається великим ікосаедром (рис.9.1) і є одним з чотирьох правильних зірчастих многогранників Кеплера—Пуансо.

Рис. 9.3. Зірчасті форми кубоктаедра.

Кубоктаедр має 4 зірчасті форми (рис.9.3). Перша з них є об’єднанням куба і октаедра.