З.Х. Ягубов, Л. П. Бойченко, О. Н. Туманова

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ухтинский государственный технический университет»

(УГТУ)

 

 

З.Х. Ягубов, Л. П. Бойченко, О. Н. Туманова

 

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИ РОВАНИЕ

С ПОМОЩЬЮ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

НА ПЕРСОНАЛЬНЫХ КОМПЬЮТЕРАХ

Учебное пособие

 

 

Ухта 2013

УДК 674.023

Я 31

 

Ягубов З.Х. Математическое моделирование с помощью численных методов на персональных компьютерах [Текст]: учеб. пособие / З.Х.Ягубов, Л. П. Бойченко, О. Н. Туманова. – Ухта: УГТУ, 2012. – 92 с.

 

ISBN 978-5-88179-704-1

 

В данном учебном пособии рассматривается применение методов вычислительной математики (численных методов) для моделирования различных процессов в области энергетики. К наиболее часто используемых методов на практике инженерных и научно-технических расчётах относятся такие как: методы решения задач линейной алгебры и нелинейных уравнений; методы теории приближения функций; методы численного дифференцирования интегрирования; методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и способы: аппроксимации и интерполяции.

Это учебное пособие может быть использовано при изучении различных объёмов курсов «Математические модели в расчётах на ЭВМ», «Математическое моделирование в технике», «Высшая математика», «Экономико-математические методы и модели», а также при проведении научных исследований магистрантами и аспиратнтами направления 140400.62 «Электроэнергетика и электротехника».

Данное учебное пособие предназначено для магистрантов и аспирантов как дневного, так и заочного отделений технического университета по специальности «Электроэнергетика и электротехника», а также для слушателей факультетов повышения квалификации в области моделирования с использованием персональных компьютеров и компьютерных технологий.

 

Учебное пособие рекомендовано к изданию.

 

Рецензенты:

© Ухтинский государственный технический университет, 2012

© Ягубов З.Х., Бойченко Л. П., Выборова Н. М., Туманова О. Н., 2013

 

ISBN 978-5-88179-704-1

 

Оглавление

 

Введение........................................................................................................... 5

Глава 1. Приближённое решение нелинейных уравнений............................ 7

1.1. Графический способ отделения корней............................................. 7

1.2. Аналитический способ отделения корней......................................... 9

1.3. Метод половинного деления............................................................ 10

1.4. Метод хорд....................................................................................... 12

1.5. Метод касательных........................................................................... 15

1.6. Комбинированный метод................................................................. 18

1.7. Метод итераций................................................................................ 21

1.8. Дополнения к разделу...................................................................... 25

1.8.1. Комментарии........................................................................... 25

1.8.2. Пример работы программ.................................................... 29

Глава 2. Приближённое вычисление определенных интегралов................ 32

2.1. Геометрическая интерпретация....................................................... 32

2.2. Метод прямоугольников.................................................................. 32

2.3. Метод трапеций................................................................................ 34

2.4. Метод Симпсона............................................................................... 36

2.5. Дополнения к разделу...................................................................... 39

2.5.1. Комментарии........................................................................... 39

2.5.2. Пример работы программ..................................................... 39

Глава 3. Решение систем линейных уравнений............................................ 41

3.1. Метод простых итераций................................................................. 41

3.2. Метод Зейделя.................................................................................. 46

3.3. Метод Крамера................................................................................. 48

3.4. Метод Гаусса.................................................................................... 51

3.5. Дополнения к разделу...................................................................... 53

3.5.1. Комментарии........................................................................... 53

3.5.2. Пример работы программ..................................................... 57

Глава 4. Численное решение обыкновенных дифференциальных
уравнений...................................................................................................... 59

4.1. Геометрическая интерпретация решения........................................ 59

4.2. Метод Эйлера................................................................................... 59

4.3. Метод Рунге-Кутта (четвёртого порядка)....................................... 61

4.4. Дополнения к разделу...................................................................... 63

4.4.1. Комментарии........................................................................... 63

4.4.2. Пример работы программ..................................................... 63

Глава 5. Математическая обработка данных............................................... 65

5.1. Интерполяция................................................................................... 65

5.1.1. Локальная интерполяция........................................................ 65

5.1.2. Квадратичная интерполяция.................................................. 66

5.1.3. Интерполяция Лагранжа........................................................ 69

5.1.4. Примеры................................................................................. 70

5.2. Аппроксимация................................................................................ 71

5.2.1. Линейное приближение методом наименьших квадратов.... 71

5.2.2. Аппроксимация полиномом................................................... 72

5.3. Дополнения к разделу...................................................................... 74

5.3.1. Комментарии........................................................................... 74

5.3.2. Пример работы программ..................................................... 76

Глава 6. Задания............................................................................................ 78

6.1 Решение нелинейных уравнений....................................................... 78

6.2 Вычисление определённых интегралов............................................ 79

6.3 Решение дифференциальных уравнений.......................................... 81

6.4 Решение систем линейных уравнений.............................................. 82

6.5 Математическая обработка данных эксперимента моделирования 86

Библиографический список........................................................................... 89

 

 

Введение

В современных условиях при моделировании энергетических процессов в нефте-газо-добывающей промышленности, используя вычислительную технику, требуется от инженеров знаний основ алгоритмизации, программирования, вычислительной математики и применения этих знаний к решению различных задач моделирования с целью оптимизации, прогнозирования как технологических, так и технико-экономических показателей.

Постановка научно-технической задачи сводится к формулировке математической задачи моделирования, решение которой зачастую можно выполнить только с помощью методов вычислительной математики, в частности, численных методов. Численный метод решения задачи – это определенная последовательность операций над числами, т.е. представляет собой вычислительный алгоритм, язык которого – числа и арифметические действия. Такое свойство языка позволяет реализовать численные методы на персональных компьютерах, что делает их мощным и универсальным инструментом моделирования и исследования различных энергетических процессов в нефте-газо-добывающей промышленности.

Моделирование и решение задач на персональных компьютерах представляет собой достаточно сложный процесс. Он включает в себя несколько этапов: постановку задачи, её математическое моделирование (т.е. математическое описание), выбор метода решения, разработку алгоритма модели, составление программ, отладку и решение задачи, уточнение математической модели и её эксплуатацию с целью оптимизации и управления энергетическими процессами.

Разработка алгоритма решения задачи или алгоритмизация задачи является наиболее ёмким этапом, включающим в себя этап программирования. В процессе его выполнения устанавливается необходимая последовательность арифметических и логических действий, с помощью которых может быть использован выбранный численный метод.

Современная вычислительная техника требует от инженеров знаний основ алгоритмизации, программирования, вычислительной техники математики и применения этих знаний к решению различных практических и научно-исследовательских задач.

В пособии рассматриваются математическое моделирование с помощью методов вычислительной математики, значительное внимание уделяется особенностям реализации вычислительных алгоритмов на персональном компьютере. Имеется большое количество примеров и геометрических иллюстраций, направленных на понимание механизмов их реализации. Примеры программ рассматриваются на языке Паскаль.

Пособие предназначено для магистрантов, аспирантов и слушателей факультетов повышения квалификации технических вузов, а также для инженеров и научных работников, применяющих вычислительные методы для моделирования различных процессов.

С помощью математического моделирования постановка научно-технической задачи сводится к формулировке математической задачи, решение которой зачастую можно выполнить только методами вычислительной математики.

Разработка алгоритма моделирования задачи или алгоритмизация её является первым этапом программирования. В процессе его выполнения устанавливается необходимая последовательность арифметических и логических действий, с помощью которых может быть реализован выбранный численный метод.

В данном учебном пособии рассматриваются следующие постановки задач мамематического моделирования с помощью численных методов.

1. Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений. Графический и аналитический способы отделения корней. Уточнение корней нелинейного уравнения методами: половинного деления, касательных, хорд, комбинированным хорд и касательных, методом итераций. Алгоритмы, расчётные схемы, блок-схемы и программы для компьютеров.

2. Численное интегрирование. Вычисление определенного интеграла методом прямоугольников, трапеций, парабол (Симпсона). Алгоритмы, графическая интерпретация, расчётные схемы, блок-схемы и программы для компьютеров.

3. Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы Эйлера и Рунге-Кутта: суть методов, их графическая интепретация, алгоритмы, расчётные схемы, блок-схемы и программы для компьютеров.

4. Решение систем линейных уравнений точными методами: Гаусса с выбором ведущего элемента и Крамера – метода определителей. Изложена их суть, алгоритмы, расчётные схемы, блок-схемы и программы для компьютеров. Численные методы: метод итераций и уточнённый метод – метод Зейделя для решения систем линейных уравнений: суть методов, алгоритмы, условие сходимости, расчётные схемы, блок-схемы и программы для колмпьютеров. Приводится сравнительная характеристика точных и приближённых методов решения систем линейных уравнений.

5. Постановка задачи математической обработки данных с помощью интерполяции и аппроксимации. Вычисление коэффициентов зависимости вида y = ax + b методом наименьших квадратов.

Настоящее пособие основывается на материале учебного пособия «Программирование и численные методы» авторов Лихачевой Л. М., Соколовой Е. С., Тумановой О. Н., Лихачева В. Н., Лабызновой Г. Г., Долгобородовой Н. В., Бойченко Л. П., изданного в 1994 году в Ухтинском индустриальном институте.

 

 

1. Приближённое решение нелинейных уравнений

 

Всякое уравнение с одним неизвестным имеет вид:

или ,

где , , – заданные функции, определённые на некотором числовом множестве .

Совокупность значений переменной , при которых уравнение превратится в тождество, называется решением этого уравнения, а каждое значение из этой совокупности – корнем уравнения. Нахождение корней уравнения с помощью точных аналитических формул осуществляется в частных случаях. В большинстве практически встречающихся уравнений их решение можно определить только приближёнными методами.

Решение уравнения приближёнными методами состоит из двух этапов:

1. Этап. Отделение корней, т. е. нахождение интервала изоляции для каждого корня;

2. Этап. Уточнение корней до заданной точности.

Для отделения корней применяются графический и аналитический способы. Часто бывает так, что приближённое значение корня известно из физических соображений.

 

1.1. Графический способ отделения корней

 

Этот способ отделения корней заключается в построении графика функции или графиков более простых функций и , на которые может быть разбита сложная функция , если её график невозможно построить. В первом случае точки пересечения графика с осью абсцисс, а во втором – абсциссы точек пересечения двух функций дают приближённое значение корней уравнения и позволяют оценить промежутки их изоляции.

 

Примеры: Даны нелинейные уравнения:

а) .

Построить график левой части уравнения (рис. 1):

 

Рис. 1.1 – График функции

 

Данное уравнение, как видно на графике, имеет три корня: x1, x2, x3.

Это абсциссы пересечения графика;

б) .

Построить график функций и (рис. 1.2):

 

 

Рис. 1.2 – Графики функций и

 

Уравнение имеет один корень x1, который получен пересечением графиков функций: и .

 

1.2. Аналитический способ отделения корней

 

Этот способ для определения промежутков изоляции корней основан на теоремах, которые приводятся без доказательств.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка существует хотя бы один корень уравнения .

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, а производная – знакопостоянна внутри отрезка, то существует единственный корень уравнения внутри этого отрезка.

Пример: .

Найдем критические точки т. е. точки, в которых производная обращается в ноль: ; .

Составим таблицу знаков функции и производной:

		-2	-1	-0.76			1.032
	-	-	+	+	+	-	-	+	+
		(max)		(min)

 

Таким образом, как и в графическом методе, корни уравнения:

; ; .

В случае алгебраического уравнения вида: необходимо сначала определить промежутки существования всех корней, а затем применить аналитический метод.

Приведем не самый точный, но очень простой метод, который основывается на том, что все вещественные корни алгебраического уравнения с вещественными коэффициентами находятся в промежутке (-R; R),

,

где – наибольший по модулю коэффициент.

Пример. Отделить корни уравнения аналитическим способом.

Решение. В этом уравнении , , следовательно:

R = 1+32/8 = 5

и корни уравнения лежат в промежутке (-5; 5).

Критические точки данной функции могут быть найдены (что не всегда легко удается) из условия:

.

Здесь одна критическая точка .

Построим таблицу знаков функции и её производной:

	-5	-4	-3	-2	-1
	+	+	+	+	+	+	-	+	+	+	+

 

Результаты анализа поведения функции показывают, что уравнение имеет два вещественных корня, которые находятся в промежутках (0; 1) и (1; 2).

Уточнение корня состоит в определении значения корня, находящегося в заданном интервале, с определенной степенью точности. Приведем несколько методов, используемых для уточнения корней.

 

1.3. Метод половинного деления

 

Этот метод основан на делении отреза пополам, т. е. нахождении последовательно значений более близких к корню, по формуле:

На каждом этапе отрезок уменьшается в 2 раза и выбирается та половина, на концах которой имеют разные знаки:

Этот процесс деления отрезка пополам выполняется до тех пор, пока длина последнего отрезка не станет удовлетворять условию . Последнее означает, что является корнем уравнения, вычисленным с точностью .

Пример. Найти корень уравнения на отрезке [0;1] с точностью методом половинного деления.

Решение. Процесс вычисления проиллюстрирован ниже и приведён в таблице ниже:

	0.00	1.0	1.00	-23.00	0.5	-14.5	1>2
	0.00	0.5	1.00	-14.5		-6.9	0.5>2
	0.00	0.25	1.00	-6.9	0.125	-0.3	0.25>2
	0.00	0.125	1.00	-0.3	0.0625	-0.1	0.062>2
	0.00	0.0625	1.00	-0.1	0.0312	-0.076	0.0312<2

 

Искомое значение корня находим по формуле:

.

 

 

Рис. 1.3 – Блок-схема. Метод половинного деления

 

Программа

 

function mdelen(t,tt,e: real): real;

var

x,a,b,f1,f2: real;

p: boolean;

begin

a:=t; b:=tt;

p:=true; x:=a;

f1:=f(x);

while p=true do

begin

x:=(a+b)/2; f2:=f(x);

if (abs(f2)<=e) then

begin

p:=false;

end

else

begin

if (f1*f2>0) then

a:=x

else

b:=x;

end;

end;

mdelen:=x;

end;

 

1.4. Метод хорд

 

Этот метод состоит в том, что на отрезке строится хорда, стягивающая точки с координатами и , а в качестве приближённого значения корня принимается значение абсциссы точки пересечения этой хорды с осью ОХ.

Здесь первая и вторая производная имеют разные знаки на отрезке . Эта процедура повторяется, причём отрезок сужается на каждом шаге при переносе левого или правого конца отрезка в точку пересечения хорды и оси абсцисс (рис. 1.4-1.5).

 

 

Рис. 1.4 – Первая и вторая производная имеют одинаковые знаки
на отрезке

 

 

Рис. 1.5 – Первая и вторая производная имеют разные знаки
на отрезке

 

Расчётные формулы:

а) если на отрезке , то

;

 

б) если на отрезке , то

.

Итерационный процесс прекращается, как только , а последнее значение считается значением корня уравнения с точностью .

 

 

Рис. 1.6 – Блок-схема. Метод хорд

Программа

 

function mhord(a,b,e: real): real;

var x,x0,x1,ae: real;

p: boolean;

begin

p:=true;

x:=(a+b)/2;

if (ff(x)*fff(x)>0) then

begin

x0:=a;

ae:=b;

end

else

begin

x0:=b;

ae:=a;

end;

while p=true do

begin

x1:=x0-f(x0)*(ae-x0)/(f(ae)-f(x0));

if (abs(x1-x0)<e) then

p:=false

else

x0:=x1;

end;

mhord:=x1;

end;

 

1.5. Метод касательных

 

Данный метод заключается в вычислении последовательных приближений к корню по формуле:

,

причём, , если (рис. 1.7, а) и , если (рис. 1.7, б) на заданном отрезке.

За приближённое значение к корню принимается абсцисса точки пересечения касательной, проведенной к одной из точек дуги АВ, с осью ОХ.

Процесс вычислений прекращается при выполнении условия .

 

 

Рис. 1.7, а – Функция убывает на отрезке

 

 

 

Рис. 1.7, б – Функция возрастает на отрезке

 

 

 

Рис. 1.8 – Блок-схема. Метод касательных

 

Программа

 

function mkasat(a,b,e: real): real;

var

x,x0,x1: real;

p: boolean;

begin

p:=true;

x:=(a+b)/2;

if (ff(x)*fff(x)>0) then

x0:=b

else

x0:=a;

while p=true do

begin

x1:=x0-f(x0)/(ff(x0));

if (abs(x1-x0)<e) then

p:=false

else

x0:=x1;

end;

mkasat:=x1;

end;

 

1.6. Комбинированный метод

 

Этот метод состоит в объединении двух последних методов (хорд и касательных), описанных выше. Целесообразность его состоит в том, что для непрерывных функций с непрерывными производными, не меняющими знака на отрезке , приближение к корню осуществляется с разных сторон.

Суть комбинированного метода изображена на рис. 1.6.

 

Рис. 1.9 – Случай возрастающей выпуклой вниз функции

Расчётные формулы:

а) Если на отрезке , то

 

б) Если на отрезке , то

Вычисления прекращаются при выполнении условия , а в качестве значения корня, полученного с точностью , принимается .

 

Пример: Найти корень уравнения на отрезке [1;2] с точностью 0.01, используя комбинированный метод.

Решение. Корень уравнения отделен и находится на отрезке [1;2]. На левом конце отрезка производная данной функции равна нулю.

Для выполнения расчётов следует сузить отрезок таким образом, чтобы в отрезке и на его концах производные функции были постоянного знака и не равны нулю.

Возьмем отрезок [1.1; 2]. На концах отрезка функция принимает значения разных знаков, первая производная и .

Это означает, что уравнение имеет один корень на отрезке [1.1; 2] и можно воспользоваться формулами (а) комбинированного метода:

Разность , что превышает заданную точность . Продолжая вычисления по формулам (а), получим:

Последние значения имеют разность меньше , и значение корня может быть принято равным:

.

 

 

Рис. 1.10 – Блок-схема. Комбинированный метод

 

Программа

 

function mcombo(t,tt,e: real): real;

var

x,a,b,a1,b1,r: real;

p: boolean;

begin

a:=t;

b:=tt;

p:=true;

while p=true do

begin

x:=(a+b)/2;

if (ff(x)*fff(x)>0) then

begin

a1:=a-f(a)*(b-a)/(f(b)-f(a));

b1:=b-f(b)/ff(b);

end

else

begin

a1:=a-f(a)/ff(a);

b1:=b-f(b)*(b-a)/(f(b)-f(a));

end;

r:=abs(b1-a1);

a:=a1;

b:=b1;

if (r<=2*e) then

p:=false;

end;

x:=0;

x:=(a+b)/2;

mcombo:=x;

end;

 

1.7. Метод итераций

 

Этот метод заключается в том, что исходное уравнение вида заменяется равносильным уравнением вида таким образом, чтобы функция удовлетворяла условию на отрезке .

Эта замена может быть выполнена по формуле: , где выбрано так, чтобы , где и знак совпадал бы со знаком на отрезке .

Данный метод последовательного приближения к корню заключается в том, что после выбора любого начального приближения к корню первое приближение к корню вычисляется путём подстановки в правую часть преобразованного уравнения, т. е.

.

Для вычислений второго и всех последующих приближений используется расчётная схема:

.

Таким же образом, строится последовательность следующих приближений и процесс вычислений прекращается при выполнении условия:

.

Последнее значение, полученное в результате вычислений, можно считать корнем уравнения , полученным с заданной степенью точности .

Суть метода итераций изображена на рис. 1.11, а; 1.11, б и 1.11, в.

 

 

Рис. 1.11, a – Сходящийся итерационный процесс ()

 

 

Рис. 1.11, б – Сходящийся итерационный процесс ()

 

 

 

Рис. 1.11, в – Расходящийся итерационный процесс ()

 

 

Рис. 1.12 – Блок-схема. Метод итераций

 

Программа

 

function mitera(a,b,e: real): real;

var

x,x1,k: real;

p1,p2: boolean;

begin

Randomize; p1:=true;

while p1=true do

begin

x:=(b-a)*random+a; k:=abs(ff(a)); p2:=true;

while p2=true do

begin

if abs(ff(a))>k then k:=abs(ff(a));

a:=a+e;

if (a>b) then p2:=false;

end;

if (abs(k)>abs(ff(x))/2) then p1:=false;

end;

p1:=true;

while p1=true do

begin

x1:=x-f(x)/k;

if (abs(x1-x)<e) then

p1:=false

else

x:=x1;

end;

mitera:=x1;

end;

 

1.8. Дополнения к разделу

1.8.1. Комментарии

 

В разделе, представленном выше, описаны алгоритмы и программы, которые работают на заранее определённом отрезке с заданной точностью . Основная проблема нахождения корней уравнения вида состоит в поиске промежутка или промежутков существования корней. В случае полиномиального уравнения можно воспользоваться методом, представленным в подглаве 1.2.

Если же уравнение трансцендентное (не являющееся алгебраическим) или имеет достаточно большой разброс корней, то стоит прибегнуть к анализу функции.

Многие методы в этой главе требуют численного дифференцирования. Соответственно точность этих методов будет базироваться не только на точности алгебраических операций. Если требуется большая вычислительная точность (погрешность менее ), то следует перейти в алгоритмах от типа real к типу double (или Extended) или полностью перевести все арифметические действия на длинную математику (погрешность ).

Далее будут представлены две функции для нахождения первой и второй производных, а также процедура отделения корней полиномиального уравнения (рис. 1.13).

 

 

Рис. 1.13 – Блок-схема. Процедура нахождения промежутков
существования корней

Программа

 

procedure analytik(a,b,e: real);

var x,y,y1: real; p: boolean;

begin

p:=true; x:=a; k:=0;

while p=true do begin

y:=f(x); x:=x+e; y1:=f(x);

if ((y<0)and(y1>0))or((y>0)and(y1<0)) then

begin

k:=k+1; z[k]:=x-e; k:=k+1; z[k]:=x;

end;

if (x>b) then p:=false;

end;

end;

Входные данные: предположительный промежуток существования корней (), точность (чем больше точность, тем дольше время выполнения программы, но меньше вероятность того, что в промежуток попадут несколько корней).

Выходные данные: массив точек z[k], составляющих отрезки существования корней.

 

Рис. 1.14 – Блок-схема. Функции нахождения первой и второй производных

Программа

 

function ff(x: extended): extended;

var k,i: integer;

e,tmp: extended;

begin

e:=0.0000001;

k:=12;

tmp:=0;

for i:=-k to k do

begin

tmp:=tmp+i*f(x+(i)*e);

end;

ff:=(3/k/(k+1)/(2*k+1))*tmp/e;

end;

function fff(x: extended): extended;

var

k,i: integer;

e,tmp: extended;

begin

e:=0.000001;

k:=18;

tmp:=0;

for i:=-k to k do

begin

tmp:=tmp+i*ff(x+(i)*e);

end;

fff:=(3/k/(k+1)/(2*k+1))*tmp/e;

end;

 

Функции основываются на формуле низко-шумного дифференциатора Ланцоша (ввиду простой реализации):

, ,

где – количество ближайших точек;

– шаг сетки.

В любом случае для анализа функции требуется нахождение производных. В выражении, представленном выше, используется приближённая формула, дающая точность до (в лучшем случае).

Для достижения точности используют дифференцирование интерполяционных формул Ньютона, Стирлинга, Бесселя и т. д.

Ряды Тейлора требуют сложных преобразований, поэтому используют готовые формулы, полученные в ходе преобразований:

,

где – шаг сетки.

 

1.8.2. Пример работы программ

 

Все программы данного раздела представлены в виде функций (за исключением процедуры из пункта 1.8.3), для работы которых требуется ввод линейного уравнения (в виде функции «f»), промежутка существования корня и точности .

Пусть требуется найти корень уравнения на отрезке с точностью методом касательных.