Доверительный интервал для зависимой переменной

Одной из задач эк. моделир-я является прогнозир-е зависимой переменной при определённых знач-х независимой переменной. Пусть построено ур-е регрессии:

Необходимо на осн. данного ур-я предсказать условное мат. M (Y/x_p) переменной Y при Х=х_р. Значение является оценкой M (Y/x_p).

Возникает вопрос как сильно может отклониться модельное значение от соответствующего условного мат. ожидания M (Y/x_p). Покажем, что случ. величина имеет нормальное распределение, для этого исп-ем формулы для c_i и d_i.

Следовательно случ. величина явл. линейной комбинацией нормальных случ. величин, значит и сама имеет норм. распределение. Найдём мат. ожидание и дисперсию данной случ. величины.

Поскольку по выборке определена быть не может, то вместо её подставим несмещённую оценку: , тогда получим выборочную исправленную дисперсию величины .

В дельнейшем будем исп-ть случ. величину , которое имеет распределение t-стьюдента с числом степеней свободы ν=n-2.

По заданному уравнению значимости α и числу степеней свободы определяем критич. точку ,n-2 , кот. удовлетворяет след. условию .

Подставим значение вместо t→ ,n-2< ,n-2 =

P( )=1-α

Выражение в скобках и определяет доверительный интервал для условного мат. ожидания .

 

 

11.Проверка общего кач-ва ур-ния регрессии.Мерой общего кач-ва ур-ния регрессии ,т.е. соотв-ия ур-ния регрессии к стат. данным явл. коэф-т детерминации (R²),кот. определяется по след. формуле: R²=1-( e_i²/ (y_i -y^¯)²). Выясним смысл коэф-тов детерминации: как известно, реальные значения зависимой переменной отлич. от модельных значений на величину e_i : y_i=y_i^{^}+ e_i , i=1,n. Последнее соотнош-е можно переписать в виде:y_i-y^{^}=(y_i^{^}-y^¯)+(y_i-y_i^{^}), где y_i- y^¯ - отклонение i-ой наблю-ой точки от среднего значения; y_i^{^}-y^¯ - - отклонение i-ой наблю-ой точки на линии регрессии от среднего значения; y_i-y_i^{^} - отклонение i-ой наблю-ой точки от модельного знач-я.

Возведем обе части в квадрат и просуммируем по всем n: (y_i-y^¯)²= (y_i^{^}-y^¯)²+2* (y_i^{^}-y^¯)²*e_i+ (y_i-y_i^{^})².

(y_i-y^¯)² –полная сумма квадратов ( меру разброса зависимой переменной относительно среднего значения).

(y_i^{^}-y^¯)² –обьясненная сумма квадратов (мера разброса, кот. объясняется с помощью регрессии).

(y_i-y_i^{^})² –необъясненная сумма квадратов.

Разделим обе части последнего выражения на левую часть, получим:

1=( (y_i^{^}-y^¯)²/ (y_i-y^¯)²)+( e_i²/ (y_i-y^¯)²). Введем обозначения: R²= (y_i^{^}-y^¯)²/ (y_i-y^¯)², тогда получим исходную формулу. Коэф-т детерминации (R²) определяет долю разброса зависимой переменной, объяснимую ур-нием регрессии. 0≤R²≤1, чем ближе R² к единице, тем лучше кач-во постр-ой регрессии. Можно показать, что R²=r_yx². Судить о кач-ве ур-ния регрессии можно и по средней ошибке аппроксимации, котор. опред-ся по формуле: A¯=1/n* Iy_i-y_i^{^}/y_iI*100%, если A¯≤10%, то построенное ур-ние регрессии качественно.

 

12. На любой экон. показатель чаще всего оказ. влияние не один, а неск. факторов. В этом сл. вместо парной регрессии рассм. мн. регрессия. M(Y/x₁, x_2, ..., x_m)=f(x₁, x₂, …, x_m). Ур-е мн. регр. в общем виде Y=f(β, x)+ε, где β= β₀, β_1, …, β_m - вектор теоретических коэфф-в, кот. нужно опред. X=(X₁, X₂, …, X_m) – в-р незав. перем. Теоретическое лин. ур-е множ. регр-и: Y = β₀+ β₁X₁+ β₂X₂+…+ β_mX_m+ε, или в каждом конктреном случае y_i= β₀+ β₁x_i1+ β₂x_i2+…+ β_mx_im+ε_i, i= . Число степеней свободы для множ. лин. регр-и равно ν=n-m-1. Если n>m+1, то возник. необх-ть оценивания теоретич. коэфф. регр-и. Как и в случае парной регр-и мы будем использ. метод наим. квадратов. Так и для парной регр-и должны вып-ся предпосылки Гаусса-Маркова. Но для множ. регр-и очень существ-ми явл. еще 2 предпосылки. Отсутствие мультиколлинеарности, т.е. м-ду незав. перем-ми должна отсутств. сильная лин. зав-ть. Случ. отклон-е ε_i, i= должны иметь норм. распределение ε_i ~ N(0, δ²). Как и в случ. парной регр-и истинные знач-я коэфф-в по выборке опред-ть невозможно, поэтому строится эмпирич. ур-е регр-и. =b₀+b₁x₁+…+b_mx_m. Для кажд. наблюд-я мы получим y_i= +e_i i= . Для нахожд-я оценок b₀, b₁, …, b_m исп-ся ф-ла Q(b₀, b₁, …, b_m)= min. Данн. ф-я явл. квадратичной. Необх. усл-ем сущ-я минимума явл. =0 всех ее частичных производных

13. Расчет коэффициентов множ. регр.Представим данные набл-ий и соотв-ие коэф-ты в матр. форме:

у1 x11 x12 ... x1n

У= у2, Х= x21 x22 ... x2n,

у3 …

… x1m x2m …xmn

уn

 

b0 e1

B= b1, e= e2

… …

bm en

Ф-цию Q = в матр. форме можно предст. как произв-е - вектор строки на вектор-столбец е. А в свою очередь вектор-столбец е можно записать в виде: е= У-ХВ.

Тогда их ф-цию Q запишем в виде: Q= е=(У-ХВ)^Т(У-ХВ)=У^ТУ-В^ТХ^ТУ-У^Т ХВ+В^ТХ^Т ХВ=У^ТУ-2 В^ТХ^ТУ+ В^ТХ^Т ХВ

Мат-ки док-но, что в.-столбец частных производных ф-ции Q по оцениваемым парам-рам имеет вид:

. Приравняем =0, получим форм-лу для вычисл-я оц-к множ. лин. регр.:

( )В=Х^ТУ => В=( )^-1 Х^ТУ.

 

 

3. Парная линейная регрессия-линейн. фун-ия между условн. мат. ожиданием- М(У/х_i)зависимой переменной У и одной независим. переменной Х: (1)М(У/х_i)=β₀ + β₁х_i,i=1;n,где х_i-знач-я независ. переменной в i-ом наблюдении.Чтоб показать,что кажд.индивидуальн.значение у_i отклон-ся от соответств-го условн.мат.ожидания в (1) надо ввести случ-ое слагаемое ε_i: у_i=М(У/х_i)+ε_i=β₀+β₁х_i+ε_i; i=1;n.←это наз-ся теоретич-й регресс-ой линейн.моделью. β₀;β₁-теоретич-е коэф-ты регрессии; ε_i-теоретич-е случ-ое отклонение.Общий вид теоретич-й линейн. регресс-ой модели→ У= β₀+β₁Х+ε_i.Чтоб определить значения теоретич.коэф-тов регрессии надо знать ХиУ генеральн.сов-сти,что практич-и невзможно.След-но,по выборке огранич-го объёма (х_i;у_i),i=1;n мы строим эмпирич-е ур-ние регрессии.(2) = b₀ + b₁х_i, i=1;n, где -оценка условн. мат.ожидания М(У/х_i);b₀b₁-оценки теоретич.коэф-тов регрессии,кот.наз-ся эмпирич.коэф-ми.Следоват-но: у_i= +e_i,i=1;n, e_i-оценка случайн. отклон-я ε_i.Т.к. генеральн.сов-ть практически всегда неизв-на,то оцененные парам-ры b₀ и b₁,от истинных знач-ий β₀иβ₁.

 

Задача сост-т в том,чтобы по конкретн.выборке найти b₀ и b₁такие,чтобы построен-ая линия регрессии явл-сь бы наилучш.среди др.,т.е. была бы ближаеш.к точкам наблюд-й по их сов-ти.