Вычет в устранимой особой точке равен нулю.

В задачах 2873-2886 требуется найти вычеты указанны функций относительно ее конечных изолированных особых точек.

 

№2873.

Решение

Очевидно, z=0 и z=1 являются простыми полюсами, т.к.

, значит

№2874.

Решение

z=2, z=-i.

- простые полюсы

Тогда

 

№2875.

Решение

- простые полюсы

№2876.

Решение

- простые полюсы

№2877.

Решение

- полюсы второй кратности

№2878.

Решение

- простые полюсы

№2879.

Решение

- полюс третьей кратности

- полюс второй кратности

 

№2880.

Решение

- полюс второй кратности

- простые полюсы

№2881.

Решение

- простые полюсы

№2882.

Решение

простой полюс

 

- простые полюсы

 

Интеграл от функции по кусочно-гладкому контуру Жордина L, лежащему в области D, где функция однозначна и аналитична, кроме конечного числа изолированных особых точек , равен произведению суммы вычетов функции относительно ее особых точек, лежащих внутри L, на 2πi, т.е.:

Вычислить интегралы в задачах 2890-2899.

№2890.

- простые полюсы

Очевидно, что в круг радиуса 1 с центром в точке i попадает точка i следовательно по теореме Коши о вычетах

(Сумма состоит из одного слагаемого, т.к. z=-i не лежит внутри L)

тогда

 

№2891.

-простые полюсы.

Обе точки лежат внутри L.

тогда

№2892.

Обе точки лежат внутри L.

 

- полюс второй кратности

- простой полюс

Тогда

№2893.

Все они лежат внутри L.

- простые полюсы

Тогда

№2894.

не существует, следовательно z=0 – существенно особая точка.

(коэффициент при z^-1)

Тогда

№2895.

( существенно особая точка )

№2896.

- существенно особая точка.

 

№2897.

Найдем лорановское разложение:

коэффициент при z _-1 не равен нулю и таких отличных от нуля коэффициентов бесконечное множество, следовательно точка z=0 – существенно особая точка и

№2898.

коэффициент при z_-1 не равен нулю и таких отличных от нуля коэффициентов бесконечное множество, следовательно точка z=0 – существенно особая точка и

 

Пусть дробно-рациональная функция

не имеет полюсов на действительной оси, причем степень многочлена Q_m(z) по крайней мере на две единицы превышает степень многочлена P_m(z) . Тогда

Где суммы вычетов распространяются на те полюсы функции f(z), которые содержатся в верхней полуплоскости.

Конформные отображения

Дробно-линейное отображение (окружность в окружности) представляется 3-мя точками: тогда

разность где встречается ∞ заменяется единицей.

1. №220. Написать какую-либо дробно-линейную функцию, которая переводит круг в нижнюю полуплоскость.

Решение.

На границе данного круга выберем три точки, например, z₁=0, z₂=2, z₃=-2 i. на окружности задается направление обхода, при котором круг оказывается справа.

Выберем теперь в плоскости w на действительной оси (которая является границей нижней полуплоскости) три точки w₁, w₂, w₃ таким образом, чтобы при соответствующем обходе границы нижняя полуплоскость оставалась справа. Можно взять, например, w₁=0, w₂=1, w₃=∞. По выбранным трем парам соответственных точек , используя формулу (7.4), запишем искомую дробно-линейную функцию:

- искомое отображение. Это не единственное решение, т.к. точки z₁, z₂, z_3­, w₁, w₂, w₃ – произвольные.

2. Отобразить полосу на верхнюю полуплоскость:

a) Рассматривая отображение w₁=z-3 i, получим полосу

b) с помощью отображения (полоса 0<y<h (h<2π) преобразуется в угол раствора h с вершиной в начале координат)

преобразует полосу в

c) наконец, отображение w₃=w₂ (угол в угол ). В нашем случае

3. Найти функцию, отображающую область на область .

a) осуществим поворот вокруг нуля на , это осуществляет функция

Следовательно, при данном повороте угол преобразуется в .

b) Рассмотрим отображение преобразующее угол в угол . В нашем случае

4. Отобразить угол раствора с вершиной в точке z=2+ i ограниченный лучами Arg (z-2-i)=0+2kπ, на нижнюю полуплоскость.

a) (переводит угол с вершиной в начале координат)

b) угол в верхней полуплоскости

c) - искомое отображение.