Функции и функциональные ряды. Элементарные функции.

 

Функция в точке имеет предел C = A + i B, тогда и только тогда, когда функции u(x,y) и v(x,y), рассматриваемые как действительные функции двух действительных переменных x и y, имеют в точке (x_0­,y₀) пределы равные соответственно A и B.

 

Существуют ли пределы в точке z=0 функций, данных в задачах 2713 – 2716?

№2713

(нет)

№2714

(нет)

№2715

(нет)

№2716

(да)

№2717

В каких точках комплексной плоскости (Z) не существует предела функции (главное значение аргумента z)?

Ответ: во всех точках неположительной части действительной оси (т. к. при движении по часовой стрелке предел равен -π, а против часовой π).

 

Функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда обе функции u(x,y) и v(x,y), рассматриваемые как действительные функции двух действительных переменных x и y, непрерывны в точке (x_0­,y₀).

Функции exp z, sin z, cos z определяются с помощью равенств:

Функции exp z, sin z, cos z связаны равенствами:

носящими название формул Эйлера. Для этих функций справедливы также равенства:

для любых z₁ и z₂.

По определению гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом называются соответственно функции:

Комплексное число может быть записано в показательной форме:

(4)

№2747.

Использую формулу (4), представьте в показательной форме комплексные числа:

1) z=-1, |z|=1, arg z=π

3) z=- i, ,

5) z=1- i, ,

7) , ,

Все значения логарифма комплексного числа содержатся в равенстве

(),

где - главное значение логарифма.

Для любых комплексных чисел и α по определению:

()

(при z₁=z₂=z≠0, Ln 1=Ln z – Ln z, т. е. Ln 1 = 2k π i ()

 

№2748. Найти все значения нижезаданных выражений:

1) ()

 

3) ()

5) ()

 

7)

 

(, где α – действительное число)

8)

Производная и интеграл.

Для того чтобы функция была дифференцируема в точке необходимо и достаточно чтобы функции u(x,y) и v(x,y), рассматриваемые как действительные функции от двух действительных переменных x и y, были дифференцируемы в точке (x_­,y) и чтобы имели место равенства:

(условие Коши-Римана) При этом производная может быть вычислена по формулам:

№2756. Проверить выполнение условий Коши-Римана и найти производную функции в следующих задачах. (2756-2759)

w=z². Пусть z=x+ i y, тогда w=(x+ i y)²=x²-y²+2xyi= , где u(x;y)=x²-y², v(x;y)=2xy.

Проверим условие Коши-Римана:

т.е. условие Коши-Римана выполняется

№2757.

w=z²+2z-1

Пусть z=x+ i y, тогда w=x²-y²+2xy i +2x+2y i -1=x²-y²+2x-1+(2xy+2y) i =u(x;y)+ i v(x;y)

 

т.е. условие Коши-Римана выполняется

 

№2758.

w=cos 2z

Пусть z=x+ i y, тогда

Итак,

Поэтому

Условие Коши-Римана выполняется.

w´=-2sin 2z

 

№2761. Доказать, что w=z Im z дифференцируема только в точке z=0, найти w´(0).

Проверим условие Коши-Римана.

Пусть z=x+ i y, тогда Im z=y и

 

w´(0)=0+i 0=0

№2760. Доказать, что функция нигде не дифференцируема.

Пусть z=x+ i y, тогда и

Условие Коши-Римана не выполняется ни в одной точке, следовательно функция нигде не дифференцируема.

 

 

§79.

Радиус R сходимости степенного ряда определяется по формуле Коши-Адамара (круг сходимости |z-z₀|<R): , причем R=0, если и R=0, если .

Можно по формуле:

 

В задачах 2729-2736 определить радиусы сходимости и круг сходимости степенных рядов.

№2729.

(очевидно z₀=0)

 

|Z|<1

 

 

№2730

, |z-i|<3 - круг сходимости

№2731

№2732

 

 

|z-(-1)|<1 (круг сходимости)

№2733

R=1, |z|<1 (круг сходимости)

т.к.

 

№2734

(круг сходимости)

№2735

- круг сходимости

 

№2735

- круг сходимости