Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Ряд Лорана и изолированные особые точки однозначных аналитических функций.
Функция , аналитическая в кольце разлагается в этом кольце в ряд Лорана: , причем этот ряд единственный и его коэффициенты an определяются по формуле: , где Гр – окружность . Если – однозначная аналитическая функция в области , то в этой области она представляется в виде суммы ряда Лорана: . Пусть – аналитическая в области . В этой области ее можно представить в виде суммы ряда Лорана: . При этом изолированная особая точка z0 функции называется: а) устранимой, если в разложении коэффициенты an=0, n = -1; -2;… б) полюсом порядка , если в этом разложении коэффициенты для n=-(m+1);-(m+2);…, причем полюс называется простым, если m=1 и кратным, если m>1. в) существенно особой точкой если среди коэффициентов an (n = -1; -2;…) содержится бесконечное множество коэффициентов, отличных от нуля. Если – однозначная аналитическая функция в области , то в этой области она представляется в виде суммы ряда Лорана: . Бесконечно удаленная точка при этом называется бесконечно удаленной изолированной особой точкой функции . Эта точка называется: а) устранимой особой точкой, если в разложении коэффициенты an=0 для n =1;2;… б) полюсом порядка , если , причем полюс называется простым, если m=1 и кратным, если m>1. в) существенно особой точкой, если среди коэффициентов an (n =1; 2;…) содержится бесконечное множество коэффициентов, отличных от нуля. Для того чтобы изолированная особая точка z0, конечная или бесконечно удаленная, аналитической функции была устранимой (полюсом), необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный (бесконечный) предел рассматриваемой функции в этой точке. Если в достаточно малой окрестности изолированной особой точки z0 конечной или бесконечно удаленной, однозначная аналитическая функция ограничена, то z0 – устранимая особая точка функции . Если z0 – существенно особая точка, конечная или бесконечно удаленная, однозначной аналитической функции , то для любого комплексного числа А, конечного или бесконечно удаленного, существует последовательность точек zn, , такая что .
В задачах 2830-2851 найти изолированные особые точки аналитической функции и выяснить их характер.
№2830.
Решение Очевидно, особые точки содержатся среди, тех при которых знаменатель обращается в нуль и в ∞.
Отсюда, . Т.к. , то - простые полюса, а ∞ - устранимая особая точка. №2831
Решение Очевидно, - простые полюсы. Т.к. , то ∞ - устранимая особая точка.
Функция называется аналитической в точке z0, если она дифференцируема в каждой точке некоторой окрестности точки z0.
№2832
Решение - устранимая особая точка. Т.к. , причем , то – простые полюсы.
№2833.
Решение. – простой полюс. – полюс второй кратности. №2834.
Решение. – устранимая особая точка. полюс третьей кратности. №2835.
Решение. – устранимая особая точка. – простой полюс, – полюсы второй кратности.
№2836.
Решение – устранимая особая точка. – не существует, т.к. не существует ∞ - существенно особая точка.
№2837.
Решение. – устранимая особая точка. – не существует, т.к. не существует пределов при и при . Поэтому, ∞ - существенно особая точка.
№2838.
Решение Нет конечных особых точек. – не существует, следовательно ∞ - существенно особая точка.
№2839. Решение – устранимая особая точка. не существует, следовательно ∞ - существенно особая точка.
№2840. Решение – полюс третьей кратности не существует, следовательно ∞ - существенно особая точка. №2842. Решение Нет конечных особых точек. не существует, следовательно ∞ - существенно особая точка.
№2843.
Решение ∞ – полюс третьей кратности. не существует, следовательно z=0 - существенно особая точка (см. №2838, 2837, 2842). №2844. Решение – простые полюсы. не существует, следовательно ∞ - существенно особая точка.
№2845.
Решение z=1 Нет предела в точке z=1, следовательно z=1 - существенно особая точка. ∞ - устранимая особая точка.
№2846. Решение z=1 не существует, следовательно z=1 – существенно особая точка. - устранимая особая точка.
№2847. Решение z=2 не существует, следовательно z=2 – существенно особая точка. ∞ - устранимая особая точка. №2848.
Решение
Т.к. эти точки нельзя заключать в круг радиуса R, то ∞ не является изолированной особенностью.
№2849.
Решение - простые полюсы.
- устранимая особая точка. №2850.
Решение - устранимая особая точка. - простые полюсы. №2851.
Решение - полюс второй кратности. - простые полюсы.
Точка z0 называется нулём кратности m аналитической функции , если в окрестности этой точки представляется в виде степенного ряда , где , причем нуль называется простым, если m =1, и кратным, если m>1. Вычеты и их приложения. Коэффициент a-1 в лорановском разложении однозначной аналитической функции в окрестности конечной изолированной особой точки z0 , называется вычетом этой функции относительно точки z0 и обозначается (начальные буквы res от французского слова residu – остаток). Вычет через интеграл выражается формулой: , где - окружность, В частном случае, когда z0 – полюс функции , вычет можно также вычислить по формуле: , если z0 – простой полюс, и по формуле: , если z0 – полюс кратности m>1.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-19; просмотров: 701; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.134.104.173 (0.049 с.) |