Вычисление интегралов в задачах геометрии

Упражнение. Вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями у=4х-х² и x-y=10.

Решить систему уравнений с помощью «блока решений» (см. рис. 61).

1. Вводим начальные значения для переменных: x:=7, y:=9.

2. После слова Given вводим заданные уравнения, используя логическое равно с панели Булева алгебра/ Логический.

3. С помощью функции Find(x, y)= находим первую точку пересечения кривых M(5, -5).

4. Вводим начальные значения для переменных: x:=-5, y:=-5.

5. После слова Given вводим заданные уравнения, используя логическое равно с панели Булева алгебра/ Логический.

6. С помощью функции Find(x, y)= находим вторую точку пересечения кривых N(-2, -12).

7. Вычислите значение площади криволинейной фигуры по формуле . Двойной интеграл вставьте, дважды нажав на кнопку Определенного интеграла с панели Исчисления. Нижней границе внешнего интеграла задайте значение -2, верхней границе 5. На рисунке 62 видно, что верхней границей фигуры является кривая 4 x-x², а нижней – кривая x-10. Нижней границе внутреннего интеграла задайте функцию - x-10, верхней границе – кривую 4 x-x².

8. Используя оператор simplify, упростите выражение и получите ответ (рис. 63).

 

 

Рис. 61. Решение системы уравнений с помощью блока решений

 

Рис. 62. Графическое решение системы уравнений

 

Рис. 63. Нахождение площади криволинейной фигуры, ограниченной линиями

Контрольные вопросы

1. Какими способами можно вычислить интегралы?

2. Какие геометрические характеристики можно вычислить с помощью интегралов?

РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Цель: познакомиться со способами решения дифференциальных уравнений.

Решением дифференциального уравнения является функция. Решением обычного дифференциального уравнения (ОДУ) — функция от одной переменной. Решением дифференциального уравнения в частных производных – функция двух или большего числа переменных. В Mathcad существует несколько функций для решения ОДУ, каждая из которых предназначена для численного решения дифференциального уравнения. Результатом решения является матрица, состоящая из значений функции, вычисленных на некотором множестве точек. В Mathcad есть функции для разных алгоритмов решения дифференциальных уравнений. Чтобы решить дифференциальное уравнение, нужно, чтобы были заданы следующие величины:

· начальные условия;

· набор точек, в которых нужно найти решение;

· само дифференциальное уравнение.

 

8.1 Решение дифференциальных уравнений с помощью функций Rkfixed, Bulstoer, Rkadapt