Методичні вказівки до розв’язування задач

Задача №1

В електричному колі, що зображено на рис. 7 відомі ЕРС джерела Е і опори резисторів. Знайти струми у всіх вітках і напругу Uab, що вимірюється вольтметром V. Прийняти, що опір вольтметра Дано: Е = 25 В, R 1 = 10 Ом, R 2= 10 Ом, R 3= 2 Ом, R 4= 3 Ом, R 5= 5 Ом, R 6= 0 Ом.
	Рис. 7. Схема електричного кола.

 

Розв’язування

В електричному колі кількість віток p = 3, кількість вузлів (c та d) q = 2. Задаємось довільно напрямами струмів у вітках.

Опори вітки cad R ₁ та R ₃ ввімкнені послідовно:

Опори вітки cbd R ₂ та R ₄ ввімкнені послідовно:

Вітки cad і cbd ввімкнені паралельно. Опір паралельних віток:

Еквівалентний опір кола:

Струм в нерозгалуженій частині кола:

Напруга між точками с і d:

або

Струми у вітках знаходимо за законом Ома:

Перевірка: (перший закон Кірхофа для вузла d)

Для визначення напруги U _ab за другим законом Кірхгофа для контуру сdв (обхід за годинниковою стрілкою) складаємо рівняння для визначення напруги U _ab.

Баланс потужностей (потужність джерела дорівнює потужності приймача):

Задача №2

В електричному колі, зображеному на рис. 8, відомі ЕРС джерел і опори резисторів. Визначити струми у всіх вітках кола і режим роботи кожного із джерел. Скласти баланс потужностей. Задачу вирішити двома методами: 1) застосування законів Кірхгофа і 2) вузлової напруги. Дано: Е ₁ = 140 В, Е ₂ = 150 В, Е ₃ = 160 В, R ₁ = 5 Ом, R ₂ = 1 Ом, R ₃ = 4 Ом, R ₄ = 2 Ом.

Рис. 8. Схема електричного кола

Розв’язування

В електричному колі чотири вітки p = 4, два вузли q = 2, три контури n = p – (q– 1) = 4 – 1 = 3.

а) задаємось довільними напрямами струмів у вітках та обходом контурів. Складаємо за першим та другим законами Кірхгофа рівняння для вузла а і контурів І, ІІ, ІІІ.

Систему лінійних алгебраїчних рівнянь можна розв’язати одним з багатьох методів: методом Гаусса, методом виключення змінних, методом Крамера та ін. Розв’яжемо її методом Крамера (визначників). Значення опорів у стовпцях відповідають відповідно струмам

Струми віток:

б) Вибираємо напрям вузлової напруги від вузла а до вузла б.

Провідності віток:

Міжвузлова напруга:

де входять зі знаком «–», так як ЕРС Е ₁, Е ₂ напрямлені проти вузлової напруги.

 

Струми віток знаходимо за другим законом Кірхгофа:

Для першої вітки:

Для другої вітки:

Для третьої вітки:

Для четвертої вітки:

Як видно з розрахунків результати за обома методами однакові. Так, як реальні напрями струмів і ₁, і ₂, і ₃ у вітках співпадають з відповідними ЕРС, то вітки працюють в режимі віддачі електроенергії або в режимі генераторів. Струм у четвертій вітці протікає в протилежному напрямі.

Складаємо баланс потужностей (потужність, що віддається дже-релом дорівнює потужності приймачів):

Задача №3

У коло синусоїдного струму з частотою f = 50 Гц (рис. 9) ввім-кнені послідовно дві котушки і конденсатор. Визначити струм, напруги на окремих елементах кола, скласти баланс потужностей, якщо відомі напруга на вході і параметри елементів. Визначити резонансну частоту. Побудувати векторну діаграму.

Рис. 9. Схема електричного кола

Дано:

Розв’язування

Знаходимо опори елементів:

Реактивні (індуктивні):

Реактивний (ємнісний):

Комплексний повний опір кола в алгебраїчній формі:

або в показниковій формі

де

Комплексний струм кола:

Спадки напруг на елементах кола:

Баланс потужностей. Активні потужності: Р_дж= Р_пр.

Реактивні потужності:

Векторну діаграму напруг і струму зображено на рис. 10. Масштаб: m_u = 10 В/см, m_i = 2 A/см.

Рис. 10. Векторна діаграма напруг і струму

Резонансна частота:

Задача 4

У коло синусоїдного струму (рис. 11) з частотою f = 50 Гц ввім-кнені через резистор R ₀ дві паралельні вітки. Параметри елементів і напруга на вході відомі. Знайти струми у вітках і нерозгалуженій частині кола. Визначити зсуви фаз всього кола і в обох вітках. Скласти баланс потужностей, побудувати векторну діаграму.

Рис. 11 Схема електричного кола

Дано:

Розв’язування

Знаходимо реактивні опори елементів у вітках:

Індуктивний:

Ємнісний:

Комплексні повні опори віток кола:

де

де

Еквівалентний опір паралельних віток кола:

Загальний опір кола:

Комплекс струму в нерозгалуженій частині кола:

Спадок напруги на опорі R ₀:

Напруга паралельних віток:

Струми у вітках:

Баланс потужностей: Р_дж = Р_пр.

Векторна діаграма зображена на рис. 12. m_u = 20 В/см, m_i = 5 А/см.

Рис. 12. Векторна діаграма напруг і струмів

Задача 5

До трифазної лінії (рис. 13) з лінійною напругою підключений симетричний трифазний приймач, з’єднаний за схемою „зірка”. Опори кожної з фаз приймача рівні Z_ф = R_ф+jX.

Рис. 13. Схема електричного кола

Визначити струм у фазах приймача та в нульовому провіднику, також споживану приймачем активну потужність в наступних режимах: а) в симетричному трьохфазному; б) при обриві однієї фази приймача; в) при обриві нульового провідника при обірваній фазі.

Побудувати для всіх трьох випадків топографічні діаграми напруг і на них показати вектори струмів.

Дано:

Розв’язування

а) Симетричне навантаження:

При з’єднанні «зірка» фазні напруги в разів менші за лінійні

Розрахунок струмів проводимо комплексним методом. Вектор напруги напрямлений вздовж дійсної осі Відповідно вектори напруг зсунуті на кути -120⁰ і 120⁰ (-240⁰), тобто:

Комплексні лінійні напруги визначаємо за другим законом Кірх-гофа як геометричну різницю фазних напруг, а саме:

Модуль повного опору фаз приймача рівний:

Кут зсуву фаз кожної вітки між струмом, що протікає у вітці та напругою, що до неї прикладена рівний:

Комплексний повний опір:

Визначаємо фазні струми віток і струм нейтралі:

У симетричному режимі струм у нульовому провіднику відсутній.

Потужність приймача: ;

б) Обрив фази с (ключ K ₁ розімкнений):

При обриві фази струм у фазі с дорівнює нулю.

Фазні струми:

Струм у нейтральному провіднику

Активна потужність:

в) обрив фази с і нейтрального провідника (ключі K ₁ і K ₂ розімкнені):

При обриві фази с та нульового провідника трифазне коло перет-ворюється в однофазне із послідовним з’єднанням фаз а і b. Напруги U_фа та U_фb однакові за величиною і дорівнюють половині лінійної напруги U_AB.

Фазні струми:

Активна потужність:

Задавшись масштабами напруг та струмів будуємо векторні діа-грами для трьох випадків (рис.14, 15, 16): m _u = 50 В/см, m _i = 2 А/см.

Рис. 14. Векторна діаграма для режиму а.

Рис. 15. Векторна діаграма для режиму б.

Рис. 16. Векторна діаграма для режиму в.

Задача 6

До трифазної лінії з лінійною напругою підключений симетрич-ний трифазний приймач (рис. 17.), з’єднаний за схемою „трикутник”. Опори кожної з фаз приймача рівні Z_ф = R_ф + jX_ф.

Визначити струм в фазах приймача та в лінійних провідниках, а також споживану приймачем активну потужність в наступних режимах: а) в симетричному трьохфазному; б) при обриві однієї фази приймача; в) при обриві лінійного провідника.

Побудувати для всіх трьох випадків топографічні діаграми напруг і на них показати вектори струмів. Для симетричного трифазного режиму визначити реактивну потужність і ємність батареї конденсаторів в мкФ, необхідну для збільшення коефіцієнту потужності до величини: а) cos φ = = 0,95, б) cos φ = 1.

Рис. 17. Схема електричного кола

Дано:

Розв’язок

а) Симетричне навантаження:

При такому з’єднанні лінійні напруги рівні фазним, тобто

Розрахунок струмів проводимо комплексним методом. Вектор лі-нійної напруги напрямлений вздовж дійсної осі

Відповідно комплекси векторів напруг зсунуті на кути -120⁰ і 120⁰ (-240⁰), тобто:

Модуль повного опору фаз приймача рівний:

Кут зсуву фаз кожної вітки між струмом, що протікає у вітці та напругою, що до неї прикладена рівний:

Комплексний повний опір:

Визначаємо фазні струми віток:

Лінійні струми:

Потужність трифазного приймача:

– активна;

– реактивна;

– повна.

Визначаємо реактивну потужність та ємність батареї конденсато-рів, що необхідні для збільшення та

де – колова частота струму.

При

При

б) Обрив фази в (bс):

При обриві фази зірка лінійних напруг залишається без змін.

Фазні струми:

Знаходимо лінійні струми.

Активна потужність:

в) обрив лінії В:

При обриві лінійного провідника В трифазне коло перетворюєть-ся у звичайне однофазне із змішаним з’єднанням приймачів (послідовно з’єднані фази а і b приєднані до фази с). Приймач фази с знаходиться як і раніше під лінійною напругою U_CA, а напруги на інших двох фазах в два рази менші за напругу U_CA.

Фазні струми:

Лінійні струми:

Активна потужність:

Задавшись масштабами напруг і струмів будуємо векторні діаграми для трьох випадків.

Рис. 18. Векторна діаграма для режиму а

Рис. 19. Векторна діаграма для режиму б

Рис. 20. Векторна діаграма для режиму в

Задача 7

Розрахувати магніторушійну силу (МРС) та струм котушки електромагніту, що забезпечує створення тягового зусилля Q ₁. Крива намагнічування (залежність В = f (Н)) магнітопроводу задана.

Рис. 21. Схема електромагніту

Дано: с = 60 мм, δ = 2,0 мм, Q ₁ = 5500 H, W = 2100.

В, Тл		0,5	0,9	1,1	1,15	1,2	1,4	1,55
Н, А/м

 

Розв’язування

Будуємо характеристику намагнічування.

Рис. 22. Крива намагнічування магнітопроводу B = f (H)

З формули визначаємо магнітну індукцію в повітря-ному проміжку електромагніту:

де – магнітна стала.

Розділивши магнітне коло на однорідні ділянки знаходимо довжи-ни їх середніх магнітних ліній , площі поперечного перерізу цих ділянок і повітряного проміжку

Площі поперечного перерізу всіх ділянок однакові:

Магнітний потік і магнітна індукція в повітряному проміжку:

З кривої намагнічування за значенням магнітної індукції В знахо-димо напруженість магнітного поля в магнітопроводі: Н ₁ = H ₂ = 1960 А/м.

Напруженість магнітного поля в повітряному зазорі:

Магніторушійну силу котушки визначаємо за законом повного струму:

Струм котушки, що забезпечує тягове зусилля Q ₁

Задача 8

Розрахувати обмотку підковоподібного електромагніту з силою тяги якщо обмотка під’єднана до джерела постійної напруги і допустима густина струму Сердечник і якір електромагніту виготовлені зі сталі, крива намагнічування якої задана в таблиці. Розміри магнітопровода зображені на рис. 23, при цьому а= = 12 см, b = 5см. З метою запобігання прилипання якоря до полюсів електромагніту передбачена прокладка із немагнітного матеріалу, товщиною .

Рис. 23. Магнітопровід електромагніту

В, Тл		0,5	0,9	1,1	1,15	1,2	1,4	1,55	1,65	1,7	1,72
Н, А/м ·10^3		0,2	0,4	0,6	0,8

 

Розв’язування

Магнітну індукцію визначаємо за формулою:

За кривою намагнічування визначаємо величину напруженості маг-нітного поля в сталі

Напруженість магнітного поля в немагнітному проміжку дорівнює:

Визначаємо середню лінію протікання магнітного потоку:

За законом повного струму визначаємо намагнічуючу силу:

За формулою опору довжина провідника дорівнює:

з урахуванням що

Висота котушки h приблизно дорівнює 80% висоти вікна електро-магніту, тобто,

Відстань від сердечника до витків внутрішнього (першого) шару, внаслідок використання каркасу та ізолюючих прокладок, нехай дорівнює 4 мм. Припустимо також, що товщина котушки D разом з каркасом складає також 80% ширини вікна електромагніту тобто

Отже, переріз провідників котушки (односторонній) дорівнює:

Перевіримо чи вкладуться всі провідники котушки в заданій площі.

Діаметр ізольованого провідника d ₁ в k разів більший за діаметр провідника d без ізоляції. Для провідника марки ПЕВ–1 або ПЕВ–2 (емалеве покриття) k = 1,5.

Припустимо, що в поперечному перерізі котушки кожен виток зай-має квадрат із стороною d ₁ = d·k, запишемо:

звідси

Представимо намагнічуючу силу у вигляді:

де – величина струму в провіднику.

З останньої формули визначимо необхідну товщину котушки:

Отже, необхідна товщина котушки не перевищує можливої товщини котушки D = 16 мм.

Довжина середнього витка котушки дорівнює:

де

Число витків визначаємо за формулою:

Струм в обмотці:

Площа поперечного перерізу провідника дорівнює:

Із довідника вибираємо провідник відповідного діаметру так, щоб його площа була найближчою до площі

Задача 9

Однофазний трансформатор має такі номінальні параметри: потужності втрат при неробочому ході , а при короткому замиканні напруга корот-кого замикання , струм неробочого ходу Визначити: коефіцієнт трансформації; параметри заступної схеми трансформатора; вторинну напругу та струм при під’єднанні споживача з параметрами:

Розв’язування

Визначаємо коефіцієнт трансформації:

Номінальний струм первинної обмотки:

Струм неробочого ходу визначаємо за формулою:

Визначаємо параметри заступної схеми.

Опори вітки намагнічування знаходимо з досліду холостого ходу:

Напруга короткого замикання:

Опори короткого замикання, активні і реактивні опори первинної і вторинної обмоток:

Для визначення вторинної напруги і струму під час навантаження визначимо коефіцієнт завантаження де І ₁ – струм первинної обмотки під час навантаження:

де

–

активна складова опору навантаження,

–

реактивна складова опору навантаження.

Зміна вторинної напруги:

де

–

активна складова напруги короткого замикання,

–

реактивна складова напруги короткого замикання.

Визначаємо вторинні напругу та струм:

Задача 10

Трифазний трансформатор характеризується наступними вели-чинами: номінальна потужність S _ном, номінальна максимальна лінійна напруга U _1ном, номінальна мінімальна напруга U _2ном, процентне значення напруги короткого замикання u _к %, процентне значення струму холостого ходу i ₀ %, потужність втрат холостого ходу P ₀ (при первинній напрузі, рівній номінальній), потужність втрат короткого замикання P _к (при струмах в обмотках, рівних номінальним), група з’єднання обмоток.

Визначити: а) коефіцієнт трансформації; б) фазні напруги первин-ної і вторинної обмоток при холостому ході; в) номінальні точки в обмот-ках трансформатора; г) параметри Т -подібної схеми заміщення R ₀, Х ₀, R ₁, Х ₁, R ₂, Х ₂; д) вторинну напругу при cos φ₂ = 0,8 і значеннях коефіцієнта навантаження β: 0,25; 0,5; 0,75; 1,0; 1,25; е) ККД трансформатора при тих самих значеннях cos φ₂ і коефіцієнта навантаження при умові, що транс-форматор знаходиться під навантаженням протягом року Т годин, а в інший час коло вторинної обмотки розімкнуте. Побудувати залежності U ₂ = f (β) і η = f (β), включаючи точку β = 0.

Вказівки. 1. Прийняти, що в досліді холостого ходу опір первинної обмотки малий в порівнянні з опором вітки намагнічення кола. 2. Прийняв-ти, що в досліді короткого замикання потужність втрат ділиться порівну між первинною і вторинною обмотками (R ₁ = R ₂ = R _к/2, Х ₁ = Х ₂ = Х _к/2).

Дано:

Розв’язування

а) Для з’єднання Y/Y -0 лінійний та фазний коефіцієнти транс-формації однакові

Рис. 24. Схема з’єднань обмоток	Рис. 25. Т-подібна схема заміщення

 

б) фазні напруги первинної та вторинної обмоток:

в) номінальні струми в обмотках трансформатора:

г) параметри Т -подібної схеми заміщення.

Повний, активний та реактивний опори фази при короткому замиканні:

Опори первинної обмотки:

Опори вторинної обмотки трансформатора:

Струм холостого ходу:

Опори намагнічуючої вітки:

Вторинна напруга при , звідки

Задаючись значеннями коефіцієнта навантаження β за формулами: та знаходимо вторинну напругу та коефіцієнт корисної дії трансформатора.

Результати заносимо в таблицю і будуємо залежності U ₂ = f (β) і η = f (β).

β, в.о.		0,25	0,5	0,75	1,0	1,25
, B		299,6	296,3	292,9	289,6	286,2
η, в.о.		0,9615	0,977	0,969	0,966	0,961

Рис. 26. Залежності U ₂ = f (β) і η = f (β).

Задача 11

Електродвигун постійного струму з паралельним збудженням ха-рактеризується наступними номінальними даними: потужність P _ном, на-пруга на затискачах U _ном, частота обертання n _ном, ККД η, втрати потуж-ності в колі якоря Р _я% і в колі збудження Р _зб % задані в процентах від споживаної потужності P _1ном. Визначити: а) струм у колі збудження I _зб.ном; б) струм якоря I _я.ном; в) струм, що споживається двигуном I _ном; г) номі-нальний момент М _ном; д) пусковий обертовий момент і опір пускового реостату при I _я.п = 2· I _я.ном. Побудувати природну і штучну механічні хара-ктеристики двигуна при опорі в колі якоря R _я.р. = 3· R _я.

Дано: P _ном = 14 кВт, U _ном = 220 В, Р _я = 4 %, Р _зб = 4,6 %, n _ном = 2400 об/хв., η = 0,84.

Розв’язок

Електрична схема двигуна:

Рис. 27. Електрична схема двигуна

 

а) електрична потужність, що споживається двигуном:

б) номінальний струм обмотки збудження:

в) номінальний струм двигуна:

г) номінальний струм якоря:

д) номінальний момент двигуна:

е) пусковий момент двигуна:

є) опір обмотки якоря:

Опір пускового реостату:

ж) побудова механічних характеристик:

номінальна кутова швидкість обертання якоря:

Конструктивний коефіцієнт двигуна:

Кутова швидкість холостого ходу:

 

Штучна характеристика:

Пускова характеристика:

Будуємо механічні характеристики двигуна:

Рис. 28. Механічні характристики двигуна постійного струму

Задача 12

Трифазний асинхронний двигун загального призначення серії 4А ввімкнений в мережу з напругою 220/380 В. Визначити: а) схему з’єднан-ня обмоток статора; б) синхронну частоту обертання n ₀; в) обертальні мо-менти двигуна, номінальний М _ном, пусковий М _п, критичний М _к, г) потуж-ність, використану двигуном P _1ном; д) номінальний I_ном і пусковий I _п струми в статорі двигуна; е) критичне ковзання S _к; ж) пусковий обертовий момент у випадку пуску при напрузі, рівній 90% від номінальної; з) обертальний момент для ряду ковзання S = S _ном; S_к; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0. Побудувати графік M = f (S). Дано: P _н = 4000 Вт, U _1ф = 380 В, n _ном = 720 об/хв, η_ном = 0,83, cos φ_ном = 0,7, K _I = I _п/ I _ном = 5,5, K _п = М _п/ M _ном = 1,9, K _м = = М _max/ М _ном = 2,6.

Розв’язування

Обмотки статора з’єднані зіркою.

Синхронна частота обертання магнітного поля статора приймає-ться з ряду: 3000 об/хв, 1500 об/хв, 1000 об/хв, 750 об/хв, 500 об/хв, причому найближча найбільша.

Номінальний момент двигуна:

Максимальний момент двигуна:

Пусковий момент двигуна:

Електромагнітна потужність двигуна:

Струм статора:

Пусковий струм статора:

Номінальне ковзання двигуна:

Критичне ковзання двигуна:

Як відомо момент пропорційний напрузі в квадраті. Напруга понизилась на 10% (тобто стало 0,9 U_1Ф). 0,9² = 0,81. Тобто, пусковий момент зменшився на 19 % (1 - 0,81 = 0,19).

Для побудови механічної характеристики використовуємо форму-лу Клосса, попередньо задавшись значеннями ковзання.

Результати заносимо в таблицю і будуємо графік.

S, в.о.		S H	0,2	Sкр	0,4	0,6	0,8	1,0
М, Нм								100,7

Частоту обертання при заданому моменті навантаження знаходи-мо з механічної характеристики М = f (s).

Рис. 29. Механічна характеристика асинхронного двигуна М = f (s)

Для значення М _С = 63,6 Нм ковзання становить s = 0,05. Частота обертання валу становить:

Задача 13

Визначити переріз мідних провідників лінії однофазного змін-ного струму при умові, щоб втрата потужності не перевищувала . Коефіцієнти потужностей віток дорівнюють:

Активні потужності віток: довжини ділянок: Номінальна напруга

Рис. 30. Схема електричного кола

Розв’язування

Струми приймачів:

Активні та реактивні складові струмів приймачів

Тут

Активна та реактивна складові струму на ділянці Аа:

Струм, на ділянці Аа: