Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону на заданный участок.

Известна. случайная величина Х, подчиненная нормальному закону с параметрами m _x и σ_х .

Требуется вычислить вероятность попадания случайной величины Х на участок от а до b.

Для вычисления этой вероятности воспользуемся формулой

 

P (a ≤ X ≤ b) = F (b) – F (a)

 

где F (x) – функция распределения случайной величины Х.

 

 

Сделаем замену переменных ; х = σ_х t + m _x; dx = σ_x dt.

 

, где .

 

Этот интеграл не выражается через элементарные функции, но его можно вычислить через специальные функции, дающие значения определенных интегралов от выражений или , для которых составлены таблицы. Существует много разновидностей этих функций.

Часто применяется т.н. стандартная нормальная функция распределения вида

 

.

 

Эта функция представляет собой функцию распределения для нормально распределенной случайной величины X с параметрами m _x = 0, σ_х = 1.

 

Для стандартной нормальной функции распределения Ф ^* (х) составлены таблицы.

 

0,5

 

 

 

0,5

 

Как и всякая функция распределения, функции Ф^*(х) обладает свойствами:

1. Ф^*(- ∞) = 0;

2. Ф^*(+ ∞) = 1;

3. Ф^*(х) – неубывающая функция.

4. Из симметричности f (x) нормального распределения с параметрами m_x = 0

и σ = 1 относительно начала координат следует:

 

Ф^* (-x) = 1 – Ф^* (х).

Выразим функцию распределения случайной величины Х с параметрами m_x и σ_х через стандартную нормальную функцию распределения Ф^* (х).

Т.к. ,

 

 

Величина - называется нормированной случайной величиной, для которой M [x₀] = 0, а D [x₀] = 1.

 

Вероятность попадания случайной величины Х на участок от а до b:

 

P (a ≤ X < b) = F (b) – F (a) = .

 

На практике часто встречается задача вычисления вероятности попадания нормально распределенной случайной величины на участок, симметричный относительно центра рассеивания m _x

 

 

 

 

т.к. , то ,

 

 

Связь квадратной нормальной функции распределения, функции Лапласа и интеграла вероятности.

 

=

 

 

так как

 

Следовательно, Ф^* (х) = 0,5 + Ф (х)

 

Ф₁ (х) = = 2 Ф (х)

 

Ф^* (х) = 0,5 +0,5 Ф₁ (х) = 0,5 (1 + Ф₁ (х))

 

Если пользоваться таблицей Ф^* (х), то .

 

Если пользоваться таблицей Ф₁ (х) то .

 

Ф₁ (х) = 2 Ф^*(х) – 1.

 

 

Правило трех сигм.

 

 

Отложим от m_x отрезки длиной σ и вычислим вероятность попадания случайной величины в каждый из них.

 

Т.о. случайная величина с вероятностью 0,9973 находится в интеграле [m_x - 3σ_x, m_x + 3σ_x].

Это значит, что для нормально распределенной случайной величины всё рассеивание (с точностью до долей процента) укладывается на участке m_x ± 3σ_x

Иначе, вероятность того, что отклонение случайной величины от математического ожидания превысит 3σ, практически равна 0, т.е. это событие считается практически невозможным событием (т.н. правило трёх сигм).

Т.о. зная σ и m_x, можно ориентировочно указать интервал возможных значений случайной величины.

Из правила трёх сигм вытекает также ориентировочный способ определения σ:

берут максимальное практически возможное отклонение от среднего и делят его на 3.

 

Кроме нормального распределения и равномерного широко используют другие типы распределений случайных величин.