Устройств, и построение их лачх и фчх

2.1.1. Основные определения. Операционный усилитель (ОУ) это усилитель постоянного тока с двумя входами (инвертирующим и неинвертирующим), удовлетворя­ющий (в идеальном варианте) следующим постулатам:

1) коэффициент усиления ОУ стремится к бесконечности ;

2) входное сопротивление ОУ стремится к бесконечности ;

3) выходное сопротивление ОУ стремится к нулю ;

4) если входное напряжение , то и выходное напряжение ;

5) полоса усиливаемых частот стремится к бесконечности ().

Очевидно, что на практике эти постулаты полностью не выполняются. Однако в большом числе практических применений они достаточно точно отражают свойства ОУ и значительно упрощают расчёт реальных схем.

Так как, согласно последнему постулату (), ОУ одинаково усиливает сигналы всего спектра входных частот, то требуемые частотные свойства (в частности, коэффициент усиления ) реального преобразователя аналоговых сигналов можно получить введением дополнительных частотно зависимых звеньев. Эти звенья (см. рис. 2.1) могут быть включены либо последовательно во входную или выходную цепи ОУ, либо в цепь его обратной связи.

При описании частотных свойств преобразователя удобно пользоваться понятием его передаточной функции , фактически отражающей зависимость коэффициента передачи устройства от частоты входного сигнала.

Учитывая второй постулат (), можно полагать, что последовательное звено коррекции (см. рис. 2.1) работает по выходу в режиме холостого хода. В этом случае передаточную функцию всего устройства можно представить в виде произведения передаточных функций последовательного звена коррекции и операционного усилителя , охваченного частотно зависимой цепью отрицательной обратной связи (ООС) с передаточной фун­к­цией , т.е.

. (2.1)

Определим передаточные функции и отдельных звеньев пре­об­ра­зователя.

2.1.2. Вывод передаточной функции звена коррекции. Передаточ­­ную функцию можно получить либо из дифференциального уравнения звена, либо используя его операторную схему замещения.

Рассмотрим оба варианта.

Вариант 1. Допустим, задана цепь ЭЦ-1 (рис. 2.1.1) из таблицы 2.2.

Рис. 2.1.1. Звено коррекции

Запишем для узла а уравнение по первому закону Кирхгофа: или

Перепишем полученное уравнение, разделив члены, содержащие переменные и

Переходя к изображениям временных функций f (t) и их производных при нулевых начальных условиях , получим:

Откуда передаточная функция рассматриваемого звена

где t = RС - постоянная времени данного звена.

Рис. 2.1.2. Операторная схема замещения звена

Вариант 2. Запишем выражение переда­точ­ной функция звена, представленного в опе­ра­торной форме (рис. 2.1.2), восп­ользовавшись правилом делителя напряжения,

 

Полученные в обоих вариантах выражения передаточной функции звена идентичны. Очевидно, что вывод функции значительно проще во втором варианте.

2.1.3. Вывод передаточной функции усилителя с ООС.

Рис. 1.1.3. ОУ с цепью ООС

Рас­смотрим ОУ (DA) (рис. 2.1.3) с коэффициентом усиления К ₀, охваченный цепью последовательной отрицательной обратной свя­зи по напряжению с коэффициентом передачи

Так как фазы напряжения , поступа­ющего на инвертирующий вход ОУ, и выходного напряжения сдвинуты относитель­но друг друга на половину периода, то увеличение напряжения

приводит к уменьшению выходного напряжения

Известно, что ОУ усиливает разность напряжений, приложенных между его неинвертирующим и инвертирующим входами. Поэтому выходное напряжение ОУ в операторной (Лапласа) форме

Откуда передаточная функция ОУ с последовательной ООС по напряжению

(2.2)

П р и м е ч а н и е. В выражении (2.2) учтён пятый постулат ОУ о независимости его коэффициента усиления К ₀ от частоты. Если необходимо учесть собственные частотные свойства ОУ, то в полученном выражении значение К ₀ необходимо заменить реальной передаточной функцией К _ОУ(р) усилителя.

2.1.4. Получение выражения для ЛАЧХ преобразователя сигналов. Передаточную функцию преобразователя в общем случае можно представить в виде отношения двух многочленов, причем каждый из этих многочленов может быть записан в виде разложения по его собственным корням. Если корни многочленов действительные, то получим выражение:

(2.3)

Заменив в (2.3) оператор p оператором j w, где , получают комплексную передаточную функцию преобразователя :

в которой выделяют действительную и мнимую части. Характеристику, построенную в координатах и , принято называть амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) преобразователя (устрой­ства). Однако, на практике большее распространение получили логарифмическая амплитудно-частотная (ЛАЧХ) и фазо-частотная (ФЧХ) характеристики, полученные в соответствии с выражениями:

(2.4)

(2.5)

Величина измеряется в децибелах [дБ] или в неперах [Нп], а в радианах [рад]. Заметим, что выражение (2.5) справедливо в случае, если

Используя свойства функций lg и arg, выражения (2.4) и (2.5) с учетом выражения (2.3) запишем в следующем виде:

(2.6)

(2.7)

Из выражений (2.6) и (2.7) следует, что интегральные ЛАЧХ и ФЧХ могут быть построены алгебраическим суммированием ЛАЧХ и ФЧХ составляющих многочленов коэффициента передачи преобразователя (см. (2.3)).

В качестве примера построим ЛАЧХ и ФЧХ трех преобразователей (звеньев) аналоговых сигналов с передаточными функциями вида:

, и

Представим передаточную функцию в виде произведения двух фун­­кций и соответственно двух последовательно соединенных звеньев:

.

Найдём выражения ЛАЧХ и ФЧХ этих звеньев с передаточными функциями

и

Характеристики звена с передаточной функцией . Ко­м­плекс­ный коэффициент передачи этого звена

Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель данного выражения на комплексно-сопряженное знаменателю число,

где и .

Модуль передаточной функции равен:

ЛАЧХ и ФЧХ звена:

,

Характеристики звена с передаточной функцией Запишем вы­ра­жения функций и для второго звена:

, , , ,

Характеристика звена с передаточной функцией . Запишем выражения функций и :

,

,

Характеристика звена с передаточной функцией Запишем выражения функций и :

,

,

,

2.1.5. Расчёт и построение ЛАЧХ и ФЧХ звеньев устройства. Полученные выражения позволяют построить ЛАЧХ и ФЧХ как звеньев, так и устройства в целом. Однако, на практике, вместо реальных ЛАЧХ, строят так называемые диа­грамм­ы Боде на двойной логарифмической сетке, являющимися кусочно-ли­нейными аппроксимациями реальных характеристик ЛАЧХ.

Для построения диаграмм Боде вычислим значения и звеньев в нескольких характерных точках.

Передаточная функция .

При w ® 0 имеем: и ,

при w = 1/t₂, дБ и

рад,

при w ® ¥ имеем

и

Рис. 2.1.4. ЛАЧХ (а) и ФЧХ (б) звена с передаточной функцией = K 1/(t2 p + 1)

Из выражения функции следует, что частота w = 1/t₂ является верхней границей полосы пропускания звена (рис. 2.1.4 а). Напомним, что полосой пропускания четырехполюсника называют диапазон частот, в котором его коэффициент передачи уменьшается не ниже 0,707 своего максимального значения, т.е. уменьшается не более, чем на 3 дБ.

Анализ значений функции показывает, что она линейно падает на 20 дБ при изменении частоты в 10 раз. Поэтому при построении ЛАЧХ удобно использовать логарифмический масштаб частоты.

Отметим, что на частоте w = 1/t₂ коэффициент передачи устройства имеет значение, равное 0,707 K ₁, а фазовый сдвиг – значение -p/4, равное половине максимального фазового сдвига -p/2 (см. рис. 2.1.4 б).

Передаточная функция . Определим значения и в характерных точках:

при w ® 0 имеем: и ,

при w = 1/t₁, дБ

и рад,

при w ® ¥, и .

Анализ значений функции звена показывает, что реальная характеристика на ча­­стоте , как и в предыдущем случае, отличается от асимптотической на 3 дБ (рис. 2.1.5 а). При изменении частоты в 10 раз характеристика звена линейно увеличивается на 20 дБ¸ а сдвиг фаз при w ® ¥ достигает своего максимального значения, равного p/2 (см. рис. 2.1.5 б).

Рис.2.1.5. ЛАЧХ (а) и ФЧХ (б) звена с передаточной функцией = t1 p + 1

Передаточная функция . Найдем значения и в характерных точках:

при w ® 0 имеем: и ,

при w = 1/t₁, дБ, при w ® ¥, , = .

Рис. 2.1.6. ЛАЧХ (а) и ФЧХ (б) звена с передаточной функцией

Итак, характеристика рассматриваемого звена во всем диапазоне ча­стот w имеет постоянный наклон 20дБ/дек при сдвиге фаз между выходным и входным сигналами, равном (рис. 2.1.6). При этом характеристика пересекает ось частоты в точке (см. рис. 2.1.6 а).

Передаточная функция Найдем значения и в характерных точках:

при w ® 0 имеем: и

при w = 1/t₄, дБ, при w ® ¥, , -- .

Рис. 2.1.7. ЛАЧХ (а) и ФЧХ (б) звена с передаточной функцией

Итак, характеристика рассматриваемого звена во всем диапазоне частот w имеет постоянный наклон -20дБ/дек при сдвиге фаз между выходным и входным сигналами, равном - (рис. 2.1.7). При этом характеристика пересекает ось частоты в точке (см. рис. 2.1.7 а).

Из сопоставительного анализа передаточных функций и характеристик звеньев преобразователя аналоговых сигналов можно сделать несколько практически важных выводов:

1. Если передаточная функция звена содержит множитель t р + 1, то его ЛАЧХ на диаграмме Боде при w > 1/t представляется асимптотой с наклоном +20 дБ/дек, начинающейся на частоте w = 1/t, а ФЧХ на этой частоте имеет фазовый сдвиг между выходной и входной величинами, равный p/4.

2. Если передаточная функция звена содержит множитель 1/(t р + 1), то его ЛАЧХ на диаграмме Боде при w > 1/t представляется асимптотой с наклоном -20 дБ/дек, начинающейся на частоте w = 1/t, а ФЧХ на этой частоте имеет сдвиг фаз между выходным и входным сигналами, равный -p/4.

3. Максимальные сдвиги фаз между выходными и входными сигналами звеньев вида t р + 1 и 1/(t р + 1) равны +p/2 и -p/2.

4. Если числитель передаточной функции звена содержит множитель t р, то во всем диапазоне частот ЛАЧХ звена на диаграмме Боде представляется асимптотой с наклоном +20 дБ/дек (пересекающей ось logw в точке log(1/t)), а сдвиг фаз между выходным и входным сигналами равен +p/2.

5. Если знаменатель передаточной функции звена содержит множитель t р, то его ЛАЧХ на диаграмме Боде во всем диапазоне частот представляется асимптотой с наклоном -20 дБ/дек (пересекающей ось lgw в точке lg(1/t)), а фазовый сдвиг равен -p/2.

6. Если при разложении многочленов передато­чной фун­кции W _пр(p) преобразователя значения постоянных времени t звеньев с передаточными функциями вида t р и 1/(t р) включены в постоянный коэффициент передачи К _пр = W _пр(0) преобразователя, то соответствующие асимптоты идеальных дифференцирующего с функцией W (p) = p и интегрирующегос функцией W (p) = 1/ p звеньев диаграммы Боде пересекают ось абсцисс в точке 1 шкалы частот lgw (или в точке 0 шкалы частот w).

7. Результирующие ЛАЧХ и ФЧХ преобразователя могут быть построены суммированием соответ­ствующих характеристик отдельных звеньев.

ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ЛАЧХ